体積比の問題でわからないところがあります

四面体OABCにおいて、OB、OCをそれぞれ1:2、1:3に内分する点をD,Eとし、三角形ADEの重心をGとする。
四面体OADEとGABCの堆積をV1,V2とするとき、V1:V2を最も簡単な整数比で表せ。

という問題があります。
解答は四面体OABCとGABCの比率を求めており、直線OGと三角形ABCの交点をPとし、この長さの差を用いて体積比を出しています。
しかし、OPは斜めに引いてあって高さではないのに、なぜこれで体積比が求まるのか理解できません。OPが垂線なら理解できるのですが。

10時間くらい考えてもわからないので誰か教えてください。

No.3 回答者： syotao 回答日時： 2024/06/23 12:26

体積の大きさを求めるんじゃなくて

比を求めるよという場合、かならす
長さの比だけで表わされることを
確認しておくことです。
たとえば
四辺形OADEの体積：四辺形OABCの体積
＝三角形ODEの面積：三角形OBCの面積＝1：12
と出てきます。
（OD：OB=1：3、OE：OC＝1:4）

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/06/21 19:55

Oから△ABCへの垂直点をHとする

GからOHへの垂直点をFとする
△OFG∽△OHPだから
|OP|:|GP|=(OABCの高さ|OH|):(GABCの高さ|FH|)
となる

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/06/21 17:22

＞OPは斜めに引いてあって高さではないのに、なぜこれで体積比が求まるのか理解できません。

斜めであっても、「OP と OG の長さの比」は「高さの比」に等しいです。
「相似比」ということです。