1－1＋1－1＋…＝？

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質問者：wonderlasting
質問日時：2024/06/23 12:40
回答数：10件

1-1+1-1+…は交互級数として有名なものの一つですね。普通は、この級数は、０と１の間を振動する一定の値に収束しない級数となりますが、異なる結果になるように計算する方法もあります。直感的には、０と１の間の平均をとるという感覚で１/２と計算する場合がある。このような計算方法は普通は行わない、行ってはいけないということですが、ある意味、特にそのように計算すると断りを付けた上で、計算することを許可する場とでもいうか、その機会を与えることを許容することもあるという理解でいます。
では、条件をもう少し広げて、1+(-1+-1+1-1+…)＝1とか1+1+(-1+1-1+…)=2、或いは-1+(1-1+1-1+…)=-1とか-1-1+(1-1+1-1+…)=-2といった計算を許容するする場を設けるというか、そのように計算する機会を数学の計算方法の分野に追加することは可能なのでしょうか？
ちょうど、普通の再配列定理では、絶対収束する無限級数はその計算順序を入れ替えても収束値は変わらない、となるところを、リーマンの再配列定理では、収束の条件を拡大した条件収束という条件を導入して、そのまま素直に計算すると一定の値に収束する無限級数が絶対値で計算すると∞に発散する場合でも、順序を入れ替えて計算することを許可して、任意の実数値または±∞とすることができると示しているように、条件収束の条件を緩めて、計算することを許可する場合を導入しようというわけです。
今回の交互級数、1-1+1-1…の場合、少なくとも、任意の整数を表すことが可能になるでしょう。そうすると、色々と面白いことが出てくるのではないか、と思われるのです。勿論、普通はこんな計算はしてはいけない、このいわば新再配列規則を適用するこの場限りの計算方法だという断りは入れる必要がありますが。
どうでしょう？それでも、このような計算方法を許容する場合というものを許可してはいけないのでしょうか？

より正確に(?)、例えば1-1+1-1+…=1と計算するためには、1+(-1+1)+(-1+1)+…=1+0+0+…=1
という風に計算することになります。

補足日時：2024/06/23 23:12
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回答 (10件)

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No.10

回答者：んけー
回答日時：2024/06/24 09:49

あーわかった。

無限和の入れ替えが不可な代表例として、以下のような条件下での無限級数がよく挙げられます。

**交代級数**:
交代級数の収束とその和の順序の入れ替えに関する例として、特に有名なのはグランディの級数です。

グランディの級数：
\[ 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + \cdots \]

この級数は交代級数であり、部分和を計算すると次のようになります：
\[ S_1 = 1 \]
\[ S_2 = 1 - 1 = 0 \]
\[ S_3 = 1 - 1 + 1 = 1 \]
\[ S_4 = 1 - 1 + 1 - 1 = 0 \]

このように、部分和が1と0の間を交互に行き来するため、この級数の和を決定することはできません。しかし、この級数を別の順序で並べ替えると異なる結果が得られることがあります。

例えば、次のように括弧をつけて並べ替えると：
\[ (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + \cdots = 0 + 0 + 0 + \cdots = 0 \]

一方で、以下のように括弧をつけると：
\[ 1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + \cdots = 1 + 0 + 0 + \cdots = 1 \]

このように、無限級数の項を再配置することで異なる結果が得られるため、無限和の入れ替えが不可であることが示されます。これがグランディの級数の有名な例です。

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No.9

回答者：んけー
回答日時：2024/06/24 09:37

絶対収束ではないにで、足して終わるか引いて終わるかどっちかわからない

ある種確率が1/2になってるとしても不都合がない
(そう計算できる場合もあるとか)
ただそれだけ

1+1+(-1+1-1+…)=1、5
2になるのは足して終わるとき
部分を区切ってる

1+Σ(-1)^n

これが入れ替えの可否になるのか…

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No.8

回答者：ありものがたり
回答日時：2024/06/24 08:13

1-1+1-1… の項の並び順を入れ換えたものの部分和を考えると、

任意の整数へ収束するものが作れます。
それを面白いと考える人もいるでしょうが、
無際限に自由なので意味がないと考える人もいるでしょう。
「意味がない」派の人は、項の並び順を入れ換えてもいい無限和と
入れ換えてはいけない無限和を区別するほうほうを見つけ、
入れ換えていいほうの無限和の収束に「絶対収束」という名をつけています。
絶対収束とは、級数の項のうち正数であるものだけを集めた和と
負数であるものだけを集めた和がどちらも収束するという意味です。

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No.7

回答者：んけー
回答日時：2024/06/24 01:01

1+1-1+…1-1＝1

1+(1+1-1+…1-1)＝2

1+1-1+…＝3/2
1＋(1+1-1+…)＝1/2

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No.6

回答者：んけー
回答日時：2024/06/24 00:58

どっちで終わるかわかんない無限級数という定義を解いて、必ず引いて終わるなどの定義にするなら

いいとして、頭に1を足すかどうかは関係なくなるはず。
1+1-1+…1-1＝0
1+(1+1-1+…1-1)＝1

1+1-1+…＝1/2
1＋(1+1-1+…)＝3/2

必ずどっちかで終わるとした場合は級数かどうかも
怪しいというか物理的意味等が、どういう時なのか
どういう場合か、何を意味しているのか
答えに対する問題を設定し直しのようになってしまいます
それを使って何かを解くのかが、そもそも何でその設定にするかがないと、繋げるにも、ただその設定だからその式になることなだけで、具体的に示せないのなら、1+1＝2と同じと言うか
その意味を聞いてるんだとすると、難しすぎる。
禁止するなら禁止の意味も明確にすること
元の1/2にする計算の意味を踏まえて。
ということのように思います