数学Aの問題です。 A高校の男子と女子の生徒数の比は3：2である。男子生徒のうちN市から通学している

数学Aの問題です。
A高校の男子と女子の生徒数の比は3：2である。男子生徒のうちN市から通学しているのは60%で、女子生徒のうちN市から通学しているのは40%である。N市から通学している生徒の中から1人選んだとき、その生徒が女子である確率を求めよ。
答え
N市から通学しているという事象をA，女子であるという事象をBとすると、
P(A)=52/100,P(A∩B)=16/100
16/100÷52/100=4/13

上記の問題のとき、P(A∩B)=16/100はどうやって求めたのでしょうか。
ちなみにこの単元は、なんで割るのかを全く理解しておらず、公式だからという理解程度でいいのでしょうか。
別のやり方で男子300人、女子200とおいて80/260としても解くことはできました。

よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2024/07/02 23:27

＞上記の問題のとき、P(A∩B)=16/100はどうやって求めたのでしょうか。

「男子生徒のうちN市から通学しているのは60%」なので
・男子である（その確率は 3/(3 + 2) = 3/5 = 0.6）
・その60%がＮ市から通学しているので
Ｎ市から通学している男子は、全体のうち
　0.6 × 0.6 = 0.36　　　　①

「女子生徒のうちN市から通学しているのは40%」なので
・女子である（その確率は 2/(3 + 2) = 2/5 = 0.4）
・その40%がＮ市から通学しているので
Ｎ市から通学している女子は、全体のうち
　0.4 × 0.4 = 0.16　　　　②

以上から、男女合計の「N市から通学している」つまり P(A) は
　P(A) = 0.36 + 0.16 = 0.52　　　③

P(A∩B) （= Ｎ市から通学し、かつ女子）は、②そのものであり、
　P(A∩B) = 0.16

最終的に求めるものは、「N市から通学している」つまり③のうち、女子であるつまり②である確率なので
　0.16 / 0.52 = 4/13


＞ちなみにこの単元は、なんで割るのかを全く理解しておらず、公式だからという理解程度でいいのでしょうか。

「公式だから」では全くダメです。何故そうしたのかを理解していないと。
上でいえば「③のうち、②である確率」のような「○○のうちの△△」を明らかにしましょう。
「P(A∩B)」などという記号にだまされずに、「Ｎ市から通学し、かつ女子」というふうに、ちゃんと日本語で考えましょう。


＞別のやり方で男子300人、女子200とおいて80/260としても解くことはできました。

それでよいです。
「たとえば全部で 1000人として」のように考えるのが分かりやすいですよね。
「確率」の基本は「具体的に数える」ことですから。

この回答へのお礼

3n,2nと置くなど、色々な方法を知ることができました。また、日本語にして公式に当てはめてみることが個人的にしっくりきました。皆様ありがとうございました！

お礼日時：2024/07/04 00:53

No.9 回答者： yhr2 回答日時： 2024/07/03 23:05

No.1 です。

ありものがかりさん＞「仮に全体を500人と」しちゃいかんと言ってるんだがな。

確率を「何人中の○○人」で計算して答えればよいだけでは？
質問者さんだって、まさか500人中の「人数」で答えようとしているわけではないでしょうし。

むしろ、それによって「○○人中の△△人」の「○○」と「△△」が何を指すのかをきちんと認識できれば、「何をなんで割るのか」もよく理解できてよいように思います。

No.8 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/07/03 16:33

「仮に全体を500人と」しちゃいかんと言ってるんだがな。

それでは、全体が500人である場合の答えしか求まらない。
全体の人数が他の数字でも同じ答えになることを
説明する部分が、数学として最も大切なとこなんだよ。
そうじゃなきゃ、算数に過ぎない。

No.7 回答者： sc348253 回答日時： 2024/07/03 13:53

300*60/100=180 180/500=360/1000=36%

200*40/100=80 80/500=160/1000=16%
(180+80)/500=260/500=520/1000=52/100
36+16=52%

3/5 * 60/100=180/500=260/1000=26 %
2/5 * 40/100=80/500=160/1000=16 %

まず　貴方のやり方から　仮に全体を500人とすると
男子=３/５ ＊ ５００=３＊５００/５=３００人　..............(1)
女子=2/5 * 500=2*500/5=200人 ..............(2)
N市から通学している男子=300*60/100=180人 ...............(3)
N市から通学している女子=200*40/100=80人　 ...............(4)　
N市から通学している生徒=180+80=260人　　　................(5)
P(A)=260/500=520/1000=52/100 ...............(6)
P(A∩B)=80人/５００人=160/1000=16/100 ................(7)

百分率で考えれば
(1);3/5=60%
(2);2/5=40%
(3);3/5 * 60/100=36/100=36%
(4);2/5 * 40/100=16/100=16% ..................(4) '
(5);36/100+16/100=52/100=52%
(6);N市から通学している生徒=P(A)=52/100=52%
(7);N市から通学している女子=P(A∩B)=16/100=16% ...................(4) '答え=16/52=4/13

No.6 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2024/07/03 12:04

＞ P(A∩B)=16/100はどうやって求めたのでしょうか。

Pはプロバビリティつまり確率です。

ベン図を描くと分かりますが、A∩Bの部分の確率、P(A∩B)は、（Aである確率）×（AであるときにBである確率）
＝P(A)・P(B｜A)
と表されます。

よって、与えられている数値からこれを求めると、
P(A∩B)＝(女子である確率)×(女子であるときにN市から通学している確率)
＝P(女子)×P(N市から通学｜女子)
＝4/10×4/10＝16／100

になるということです。

P(N市から通学している)＝52/100

なんて、男子についても同じ計算をして、和を取らないと出て来ません。
つまり、これは、No.3に書いた「総和」なのです。
何故これが出てくるか疑問に思わないのか、はNo.2さんもご指摘されていますね。

答の、
16/100÷52/100=4/13 は、

P(女子｜N市から通学)＝P(女子)×P(N市から通学｜女子)／(総和)
＝4/10×4/10／総和
＝16/100÷52/100＝4/13

というベイズの公式から来ているのです。

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/07/03 08:44

＞ 公式だからという理解程度でいいのでしょうか。

「公式」の使い方を間違えなければ、それでもいい...
というか、公式の内容が理解できないなら、
それしかないのだと思います。しかたがない。

＞ 別のやり方で男子300人、女子200とおいて
＞ 80/260としても解くことはできました。

こっちのやり方は、駄目です。
正しい答えが得られることは解っている方法なのですが、
その答えが正しいことの説明が要る。
男子生徒と女子生徒の合計が500人じゃなく
1000人でも他の人数でも同じ答えになる
ことを書き添えないと、答案としてはおそらく減点対象です。
男子3n人、女子2n人(nは任意の自然数)と置いたらよかったのに。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/07/03 08:20

男子は生徒の60%、女子は40%だから

N市から通学しているのは
それぞれの割合から
男子 0.6×0.6=0.36=36%
女子 0.4×0.4=0.16=16%
併せて52%

この中の女子の割合は
16/52=4/13
これが確率になります。


P(A∩B)は上の16%のところです。

No.3 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2024/07/03 07:27

数Aでは、ベイズの定理とか条件付き確率は習いませんか？

これは、ベイズの定理で解けば、簡単です。

この問題は、P(女子｜N市) の確率が欲しいのですが、
この条件付き確率の中が逆転した、P(N市｜女子) からそれが求められるというのが、ベイズの定理です。

（事後確率)＝(事前確率)・(条件付き確率)／(分子の総和)
P(女子｜N市)＝P(女子)・P(N市｜女子)／∑(P(性別)・P(N市｜性別))

代入計算を書き下すと見にくいので、表にまとめました。

周辺確率というのは、事前確率と条件付き確率の積で、分子の値です。
総和は分子（周辺確率）の和です。分母になります。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/03 05:54

A高校の男子と女子の生徒数の比は3：2であるから

B女子である確率は2/5
女子生徒のうちN市から通学しているのは40%であるから

A(N市から通学している)かつB(女子)である確率は

P(A∩B)
=
(2/5)*40%
=
(2/5)(40/100)
=
(2/5)(2/5)
=
4/25
=
16/100

---------------------------

(-B)男子である確率は3/5
男子生徒のうちN市から通学しているのは60%であるから

A(N市から通学している)かつ(-B)男子である確率は

P(A-B)
=
(3/5)*60%
=
(3/5)(3/5)
=
9/25
=
36/100

-----------------------------------

A(N市から通学している)確率は

P(A)
=P(A-B)+P(A∩B)
=36/100+16/100
=52/100

--------------------
だから

P(A∩B)がわからなければ
P(A)がわかるはずはないのに
なぜ　P(A)=52/100　となるのか質問が無いのが不可解