βが加速度のときこのように差がhになる時間は？というのでこのようにあったのですが、なぜ1/2にしてる

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βが加速度のときこのように差がhになる時間は？というのでこのようにあったのですが、なぜ1/2にしてる

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質問者：と.っこ
質問日時：2024/08/05 12:30
回答数：5件

yhr2 · Accepted Answer

No.3 です。

#3 には「平均速度」を使った計算を示しましたが、それは #4 さんの「積分」と同じことです。
微分・積分を習っていないと考えて、#3 は中学生でもわかる説明にしました。
「積分」は「グラフの面積を求める」ことであり、ここでのグラフは「原点を通り、直線状に増加」なので、#3 では「三角形の面積」を求める方法で書きました。
（三角形の面積を求めるには、高さの 1/2 で切断して、空いたところを埋めることで「 (1/2) × 底辺 × 高さ」になる。そこに「1/2」が出てくる）

tknakamuri · Answer

初期位置ゼロ、初速度ゼロで加速度βの運動の速度vは
v(t)=0+βt
位置xは速度を積分して
x=0+∫[0→t]v(τ)dτ=∫[0→t]βτdτ=(1/2)βt^2

yhr2 · Answer

最初静止していたとすれば
・Ｂの速度：下向きに Vb(t) = βt
・Ｃの速度：上向きに Vc(t) = βt

変位は
・Ｂ：下に Yb(t) = (1/2)βt^2　　　①
・Ｃ：上に Yc(t) = (1/2)βt^2　　　②

従って、高さの差は
　h = Yb(t) + Yc(t) = (1/2)βt^2 + (1/2)βt^2 = βt^2

①②がなぜ (1/2) になるかといえば、たとえばＢについていえば
t=0 のときの速さ：Vb(0) = 0
t=T のときの速さ：Vb(T) = βT
速さは加速度 β で直線状に増加しているので、その間の平均速度は
　Vb(avr) = (Vb(0) + Vb(T))/2 = (0 + βT)/2 = (1/2)βT
その平均速度で T 秒だけ進んだのだから、進んだ距離は
　Yb(T) = Vb(avr) × T = (1/2)βT^2

Ｔ は任意の時間でよいから
　Yb(t) = (1/2)βt^2

Yc(t) も同じです。

masterkoto · Answer

運動の方向をy軸に取る(運動の方向を正とする)と
Bの等加速度運動の時刻Тと位置yの関係については
y＝(1/2)βТ²…①
Cの式も
Y＝(1/2)βТ²…②
時刻tでBCの高さの差がhになるなら
この時刻では
y＝Y＝h/2となるので
①に代入すると
(1/2)βt²＝h/2
②に代入したものも
(1/2)βt²＝h/2
辺々加えたら画像の通り
と言うことですね