熱伝導拡散方程式の問題って例えば ∂u/∂t=3(∂^2u/∂x^2) (0<x<2.t>0) u(

熱伝導拡散方程式の問題って例えば
∂u/∂t=3(∂^2u/∂x^2) (0<x<2.t>0)
u(0,t)=u(2,t)=0 (t>=0)
u(x,0)=sinπx+sin2πx (0<=x<=2)

これのCnとu(x､t)求めよって言われた場合、どこから書くべきですか？

前半はほぼ省いて公式に当てはめるだけみたいに
Cn=1/2･∫0から2〜

u(x､t)=〜

って書くだけじゃダメですか？

質問者からの補足コメント

• なぜCnの分母が2なのときたのですが、間違えてました。
  例えば
  ∂u/∂t=k∂^2u/∂t^2
  u(0､t)=0=u0、u(L､t)=0=u1
  u (x､t)=f(x)
  
  us(x)=u0+(u1-u0)x/L
  
  周期関数のフーリエ展開を利用して
  Cn=2/L ∫(0からL){f(x)-us(x)}sinnπxdx/L
  と教えられたのがCnです。
  
  このCnのLは長さだと思っていたんですが質問の分の中では間違えてしまいました。
  
  正しくはこういう感じだと思いますCn=∫0から2〜

    補足日時：2024/12/06 17:32

No.3 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/12/06 21:23

∂u/∂t=3(∂^2u/∂x^2) (0<x<2,t>0) …(1)

u(0,t)=u(2,t)=0 (t≧0)
u(x,0)=sin(πx)+sin(2πx) (0≦x≦2)

u(x,t)=X(x)T(t)
と置く

↓これを(1)に代入すると

X(x)T'(t)=3X"(x)T(t)

T'(t)/{3T(t)}=X"(x)/X(x)

左辺はtだけの関数右辺はxだけの関数だから
定数になるからそれをμと置く

T'(t)/{3T(t)}=X"(x)/X(x)=μ

境界条件から
μ<0
X(x)=Asin(x√-μ)
sin(2√-μ)=0
√-μ=nπ/2

X(x)=Asin(nπx/2)

T'(t)/T(t)=3μ
T(t)=Be^{3μt}
↓μ=-n^2π^2/4だから
T(t)=Be^{-3tn^2π^2/4}

これよりu(x,t)の一般解は,重ね合わせの原理より

u(x,t)=Σ[n=1～∞]C(n)e^{-3tn^2π^2/4}sin(nπx/2)

境界条件から
u(x,0)=Σ[n=1～∞]C(n)sin(nπx/2)=sin(πx)+sin(2πx)

nπx/2=πx→n=2→C(2)=1
nπx/2=2πx→n=4→C(4)=1
(n≠2)&(n≠4)のときC(n)=0

∴
u(x,t)=e^{-3tπ^2}sin(πx)+e^{-12tπ^2}sin(2πx)

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/12/06 14:14

Cn って何ですか？

u(x,t) なら問題に登場しているようですが。

一次元拡散方程式の初期値境界値問題ですね。
普通に方程式の両辺をフーリエ変換すればいい
のではないでしょうか。
初期値が sin で構成されてるあたり、
露骨にそれを誘導してますよね。

物理の練習問題として出題されたものならば、
「答えの公式知ってるよ」で済むかもしれません。
数学の演習なら、導出の過程が必要でしょう。

No.1 回答者： han-ka-2 回答日時： 2024/12/06 14:10

その講義の目的によって，どこまで書くかは決まります。

僕の境界値問題とフーリエ解析の講義の宿題なら，
1. まず変数分離をする。
2. x に関する固有値問題を誘導し，固有関数が sine 関数だということを求め，固有値を求める。
3. 初期条件にフーリエ級数解を代入して，固有関数の直交性を利用するために適切な内積を用いて，Cn を求める式を誘導し，それを計算する。あれ？　Cn の公式の分母はどうして 2 なんですか？