右辺の級数が一様収束よりこの級数は連続で あることが分かると思いますが、なぜ各項が連続であることも用

右辺の級数が一様収束よりこの級数は連続で あることが分かると思いますが、なぜ各項が連続であることも用いているのですか？

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/22 11:12

一様収束だからといって級数が連続だとは限らない

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/01/21 14:52

fk(x) = Σ[n=1,k] { √n sin(nx) + cos(√n x) }/(n^2 + 1) と置こうか。

引用の文章は、関数列 fk(x) の各項が連続関数で、しかも
f(x) = lim[k→∞] fk(x) の収束が x について一様収束ならば、
極限の関数 f(x) も連続である ...という定理を使用している。
各 fk(x) は連続でないと、定理が適用できないのだ。

この定理は、 fk(x) が x の連続関数でないと成り立たない。
反例として、 任意の k に対して fk(x) = [x] を挙げてみようか。
k に関する定数列なので、 f(x) = lim[k→∞] fk(x) = [x] は一様収束だが、
f(ｘ) = [x] は x の連続関数になっていないね？

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2025/01/21 14:34

右辺の級数が一様収束よりこの級数は連続で あることが分かると思いますが、>

それはちがう：
この級数の連続性を見るにはその部分和の連続性を確認しておきたい、
だから級数各項の連続性にふれておくのです。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2025/01/21 05:30

https://mathlandscape.com/unif-conv-to-continuous/