シュレーディンガーの式はどうして複素数何でちゅか？？？

Question

参考資料

ーーーーー
シュレジンガー方程式の関する疑問

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12135395697

 


どうして複素数なのか？

http://homepage2.nifty.com/eman/quantum/schrodinger.html

には、

ーーーーーーー

　このように虚数部分は、実数の三角関数に微分計算をしたときと結果が同じになるように 助けてくれているのである。 　波動関数の実数部分だけを見ていれば計算結果は実数だけで計算した時と同じなのである。 　三角関数の代わりにわざわざ虚数を導入してまで指数関数を用いるのは、 微分しても関数の形が変わらないので微分方程式が非常に楽に解けるという メリットのためであると言えるだろう。 

　ここまで見る限りでは、 波動関数に虚数が出てくるのは何か理解できない深い意味があると考えるより、 単に数学を使った計算テクニックの結果だと考える方がいいように思える。  

しかし、私が言う事を疑ってかかることをお勧めする。  

　なぜなら、シュレーディンガー方程式を作った時の意味に従うのなら 指数形式で書ける解のみが許されるべきであって、 さらにその実数部分のみがド・ブロイ波としての意味を持つはずである。 　しかし指数形式の解のみを認めるという制限をつけると、 まったく当たり前すぎて面白みのない答えしか出て来ないことになってしまう。 　しかも境界条件の関係で解けないことの方が断然多いのだ。 　そんな応用に使えないようなことでは シュレーディンガー方程式がこれほど有名になることもなかったことであろう。  

　そこで元の意味を離れて指数形式以外の解も解として認めることにしたのであるが、 その結果、何とも解釈の難しい複素数の解が出てきてしまうことになってしまった。  

　では、適用範囲を広げて求められたこの複素数の解はどうやって解釈したらいいのだろう。 　虚数部分は一体何を表すのだろう？ 　不思議なことに、求められた波動関数の絶対値の 2 乗が 粒子の存在確率を表すと考えると計算結果が事実と合うのである。 　素直に認めるべきか、うまく行く理由を考え直すべきなのか・・・。 　多分これが、シュレディンガー方程式が発表された当時の人々の反応だったのではなかろうか。  

　現在では、教科書を鵜呑みにする限りこのような問題に悩むことがない。 　これでうまく行くことだけは事実だからだ。 

－－－－－－

とある。

 


■puraibeito_00さん

シュレディンガー方程式にもハイゼンベルク方程式にもあらわに複素数が含まれているので複素数なしで量子力学を考えることは不可能。

オイラーの公式などで便利だから使ってるのだ、と言うのはおそらくドブロイ波など高校でやる前期量子論のお話だと思います。そこまでなら確かに便利だから複素数を使っているだけで、複素数を使わずに表記もできると言える。

しかし、現在の量子力学においては複素数は必要不可欠。

 


もし、計算のテクニックの意味だけで複素数表示になっているのであれば波動関数は実数部のみ物理的な意味を持つはずです。しかし、現実には実部と虚部2つを含めて物理的な意味を持ちます。
なので、量子力学においては複素数は本質的に必要なのです。

なぜか、と問われると本質的には答えられない。このようにしてみたら実験結果と一致して複素数は物理的な意味を持った。としか言えない。

これはなぜ重力は存在するの？や、なぜ素粒子は存在するの？と同じような質問ではないかと思います。なぜ存在するのかなんて物理では答えられません。どのような法則に則り作用するのかを調べるのが物理ですから。これは少し蛇足でしたね。

 


■ｓhoragatogewokimekomuさん

基礎方程式であるシュレーディンガー方程式にあらわに虚数単位が含まれているから、その解も当然複素数になる。

シュレーディンガー方程式を破棄して、量子力学を一から作り直せば別ですが。そんなことができるなら。

 


それに理由はない。
 結果オーライでできてるのが量子力学だから。
シュレーディンガー方程式とか、演算子とか、確率解釈とか、こういうのはニュートン力学の運動方程式とか、力の平行四辺形の原理とか、作用反作用の法則とかに対応するもので、理屈ではなく、結果が正しいことによって証明されるもの。ほぼ原理で間違いない

 


他の回答に出てる自由粒子のやつ、E=hνとp=h/λからエネルギー保存になっていることを示すことで、導入時にいきなり妙な方程式をどんと見せられたときに感じる高いハードルを下げる役目はありますが、それ以上のものではないですね。

シュレーディンガーがどうやってシュレーディンガー方程式に至ったのかは論文読んでもわからないと言われていまして、謎のままです。とにかくこれはいきなり出てくる方程式で、証明はありません。

 

 

■t1662035さん

順番が違う。
 元々、複素数表示が理論的に導出されたからシュレディンガー方程式ができたのではなく
実験事実からシュレディンガー方程式をつくったら複素数表示になってしまっただけ。
そのため、なぜ複素数か？という疑問を解決することは
 シュレディンガー方程式などの基礎方程式を理論的に導出することに等しい。
そして、人類はそれをまだ可能にしていない。

 余談ですが、波動関数が複素数になってしまうのは、波動関数の二階微分が負になってしまうからです。
 私が今やっている研究では、哲学的な仮定から波動関数が満たすべき式を導出した結果、ちゃんと波動関数になり、波動関数の二階微分も負になっています。
この時、負になった原因は波動関数が発散しない条件をいれたためでした。

d9win · Accepted Answer

シュレーディンガーは”シュレーディンガー方程式”の前に、複素数で表した”ド ブロイ波に対する波動方程式”を発表して、水素原子のエネルギー準位を計算して”シュレーディンガー方程式”と同じエネルギー準位を得ました。しかしながら、水素電子のような1粒子しか扱えませんでした。
一方、ハイゼンベルクが提起してボルンとヨルダンが整理した行列力学は、原理的には適用に制限のない一般的な理論でした。その最も重要な特徴が交換関係(x p_x - p_x x = i h/2π)でしたが、”ド ブロイ波に対する波動方程式”はこの交換関係を説明できませんでした。
そこで、シュレーディンガーは行列力学に匹敵するように、”ド ブロイ波に対する波動方程式”の運動量pを-i/(2π) ∂/∂xで置き換えることで交換関係を満たして、多粒子も扱えるように一般化しました。(以上、朝永の量子力学-I, IIからの情報)

シュレーディンガー方程式の成功は、運動量pを-i/(2π) ∂/∂xで置き換える前の段階で、先ず(ド ブロイが提起した)物質波を複素数としたことにあるようです。複素数の波ならば(sin θ + i con θ)のように独立した(直交した) 2成分を有していると考えることができます。例えば、螺旋波はそのような2成分を有する波です。そうすれば、複素数で表した波動関数が有効であるのは、物質波(ド ブロイ波)が螺旋波である為ではなかろうかと考えます。
なお、物質波が螺旋波であれば、物質波にスピンがあることや、光子にサイズがあることが納得し易いと思います。

ありものがたり · Answer

虚数部分の意味っていうか、実数部分の意味も不明だよね。
絶対値に粒子の存在確率って意味があるんじゃないかと言われてて、
それには異論もある。偏角の意味に触れた話は見たことがないな。

finalbento · Answer

単純に「複素数にしたら都合がいい(そう考えないと現実に合わなくなる)」と言うだけです。

波動関数の虚数部分の意味云々以前に、そもそも波動関数が何を表しているのか自体がまだ分かっていません。

シュレーディンガーの式はどうして複素数何でちゅか？？？

虚数部分の意味っていうか、実数部分の意味も不明だよね。

単純に「複素数にしたら都合がいい(そう考えないと現実に合わなくなる)」と言うだけです。

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