厄介そうな定積分

∫[0→π/2]( tan(x) )^(1/n) dx　　(n≧2)

　これ、積分できますか？

No.4 回答者： MitTKG 回答日時： 2025/04/04 12:51

積分はできます。

でもめんどくさいのでやりません。
（発散しないことはこの図から明らかでしょう。)

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/04/04 10:57

lim[x→π/2]tan(x)=∞

だから
∫[0→π/2]( tan(x) )^(1/n) dx=∞
に
発散します

y=(tan(x))^{1/n}
と置くと

y^n=tan(x)
ny^{n-1}dy/dx=1/(cosx)^2=1+(tanx)^2=1+y^2

dx=ny^{n-1}/(1+y^2)}dy
ydx=ny^n/(1+y^2)}dy
だから

∫[0→π/2]( tan(x) )^(1/n) dx
=
n∫[0→∞]{ y^n/(1+y^2)}dy
=
∞

n≧1 で発散します

この回答へのお礼

回答まことにありがとうございます。

n = 2 を以下のように計算したのですが、どこがまずいですか？

https://imepic.jp/20250404/401080

お礼日時：2025/04/04 11:10

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/04/04 09:35

あ、最後 y = ( tan(x) )^(1/n) を代入して式を複雑にしなくても、

n ∫[0,∞] { y^(n-1) / (1 + y^2) }dy で良いのか。

Q(y) = A = 0 でないと発散するな。
ｙ^(n-1) = B ってことだから、 n = 1 の場合に限られる。
条件が n≧2 なので、常に発散か。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/04/04 09:26

すごく面倒くさいけど...

できることはできそう。

y = ( tan(x) )^(1/n) と置くと
y^n = tan x だから、微分して
n y^(n-1) dy/dx = 1/(cos x)^2 = 1 + (tan x)^2 = 1 + y^2.
これを使って
∫y dx = ∫{ n y^(n-1) / (1 + y^2) }dy
と置換積分できる。
右辺の積分は、分数式の積分だから、不定積分できるやり方がある。

被積分関数を部分分数分解して、その項ごとに積分すれば ok.
y^(n-1) を 1 + y^2 で割った商を Q(y)、余りを Ay+B と置くと
y^(n-1) / (1 + y^2) = Q(ｙ) + Ay/(1 + y^2) + B/(1 + y^2) だから、
∫{ y^(n-1) / (1 + y^2) }dy = ∫Q(ｙ)ｄｙ + (A/2)∫{ 2y/(1 + y^2) }dy + B∫{ 1/(1 + y^2) }dy.
これの右辺の積分は、知ってるはず。
ちな、
∫{ 2y/(1 + y^2) }dy = log(1 + y^2),
∫{ 1/(1 + y^2) }dy = arctan y.

あとは、n に応じて具体的に Q(y), A, B を求めて、
積分した式に y = ( tan(x) )^(1/n) を代入するだけ。
∫y dx = ｎ ∫{ y^(n-1) / (1 + y^2) }dy
の右辺に n 倍があることを忘れずにね。

この回答へのお礼

丁寧な回答まことにありがとうございました。やはり大変そうですね。

> 条件が n≧2 なので、常に発散か

　n = 2 ならπ/√2 になりませんか？

お礼日時：2025/04/04 10:36