厄介そうな定積分

∫[0→π/2]( tan(x) )^(1/n) dx　　(n≧2)

　これ、積分できますか？

No.9 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/04/04 21:14

#7の方の通りβ関数でした

この回答へのお礼

丁寧な回答まことにありがとうございました。

お礼日時：2025/04/05 21:07

No.14 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/04/05 13:59

Γ関数の相反公式ですね。

(1/2) B(1/2+1/(2n), 1/2-1/(2n))
= (1/2) Γ( 1/2+1/(2n) ) Γ( 1/2-1/(2n) ) / Γ( 1/2+1/(2n) + 1/2-1/(2n) )
= (1/2) Γ(z) Γ(1-z) / Γ(1)　　；z = 1/2+1/(2n) と置く
= (1/2) ( π/sin(πz) ) / 0！　　　；相反公式
= π/( 2 sin(πz) )
= π/( 2 sin(π/2+π/(2n)) )
= π/( 2 cos(π/(2n)) ).

No.13 回答者： endlessriver 回答日時： 2025/04/05 11:14

ありがとう・・・・

No.12 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/04/05 11:06

n≧2

0<x=1/2+1/(2n)<1
だから
xは整数にはなりません
xはZの要素でない

No.11 回答者： endlessriver 回答日時： 2025/04/05 10:35

#7さんの解で

公式　B(x,1-x)=π/sin(πx) を使うと思うのですが 「xはZでない」とありますが、大丈夫でしょうか。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%BC …

n=2 などの時は成り立ってるんですけれど?

No.10 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/04/05 09:03

ベタなネタに気づかなかった...

No.8 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/04/04 15:12

#3間違えました

∫[0→π/2]( tan(x) )^(1/n) dx=∞
に発散するというのは間違いでした取り消します

No.7 回答者： 胸が大きいのが悩みなの。乳首は桜色だし。 回答日時： 2025/04/04 14:20

ただのベータ関数では？

∫[0→π/2]tan(x)^(1/n)dx
=∫[0→π/2]sin(x)^(1/n)cos(x)^(-1/n)dx
=(1/2)B(1/2+1/2n,1/2-1/2n)
=π/2 sec(π/2n)

この回答へのお礼

丁寧な回答まことにありがとうございました。
　なるほど、ベータ関数ですか。

お礼日時：2025/04/04 20:43

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/04/04 14:03

←No.4

lim[x→π/2] (tan x)^(1/n) = +∞ なので
∫[0→π/2] (tan x)^(1/n) dx は x→π/2 の端で広義積分なんだけど、
発散しないことは図から明らか？

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/04/04 13:23

ああ、ごめん。

間違った。
No.3 も、同じとこつられてるな。

y^n = tan x だから、
n y^(n-1) dy/dx = 1/(cos x)^2 = 1 + (tan x)^2 = 1 + (y^n)^2.
これを使って、
∫[0→π/2] (tan x)^(1/n) dx
= ∫[0→∞] y { n y^(n-1) /( 1 + (y^n)^2 ) } dy
= n ∫[0→∞] { y^n /( 1 + (y^n)^2 ) } dy
だね。

これ、どうすんのかな？
= (n/2) ∫[0→∞] { 1/(y^n - i) + 1/(y^n + i) } dy
で留数定理行ける？