R^n (C^n)以外のベクトル空間って他になにがあるのか教えてください。

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A 回答 (2件)

関数空間が重要です。

応用数学や物理数学には必須です。
R^n はn個の実数の組<r1,r2, ...., rn> を要素とする集合ですが、関数空間は (適当な制限を満たす)関数の集合です。
 いい加減な考え方ですが、<f(r1),f(r2),.....,f(rn)>において、nを無限大にしたもの、と捉えるのでも取りあえず良いでしょう。だからR^nがn次元であるのに対して、関数空間は無限次元です。

R^nに於ける内積は p・q = Σ{i=1~n} (pi qi) ですが、関数空間では内積は(目的に応じて)いろいろ選べます。その内積に対応して様々な関数空間が作れる。最も簡単でよく使う内積は
p・q = ∫ p(t)q(t) dt (ただし積分は t=-∞~∞)
というものです。

R^nにおけるベクトルの足し算は
p+q = <p1+q1, p2+q2,.....,pn+qn>
です。同様に関数空間では
p+q = f (ただしfは任意のtについてf(t) = p(t)+q(t)となる関数)
です。
R^nにおけるベクトルのスカラー倍は
ap = <ap1, ap2,.....,apn>
です。同様に関数空間では
ap = f (ただしfは任意のtについてf(t) = ap(t)となる関数)
です。

R^nの正規直交基底、つまり直交座標系の軸を表す単位ベクトルはたとえば<1,0,....,0>, <0,1,....,0>,...,<0,0,....,1>のn個ですけど、これに限る訳ではなく適当に回転しても良い。2次元の場合<1,0>,<0,1>でなくても<√2/2,√2/2>, <√2/2,-√2/2> でも良い。
要するにn個のベクトル<a1, a2, ..., an>が正規直交基底であるためには、
ai・ai = 1 (i=1,2,...,n)
ai・aj = 0 (i≠jならいつでも)
ということを満たせば良い。
同様に、関数空間の場合の正規直交基底も関数の列<a1,a2,.....>が
ai・ai = 1 (i=1,2,...)
ai・aj = 0 (i≠jならいつでも)
を満たせばよい。でも無限次元ですから、n個(i=1,2,....,n)という訳には行かず、無限個の関数の列が基底になります。このような正規直交基底をなす関数の列を「正規直交関数系」と呼ぶ。チェビシェフの多項式はそのような関数系のひとつです。
 また内積を
p・q = ∫ p(t)q(t) dt (ただし積分は t=0~2π)
とすると、これは周期2πの周期関数からなる関数空間で、
<1, sin θ, cos θ,sin 2θ, cos 2θ, .... >はその直交基底です。

直交関数系、関数解析などをキーワードにして教科書を探せばいっぱい見つかります。
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ベクトル空間は一般の体k上で定義されるので、R^n , C^n以外に無数にあります。


ベクトル空間の本を開くと、多くの場合体RまたはCで書かれていますが、
実数体R、複素数体Cの性質に依存する内容は少ないと思います。
ということは一般の体k上で議論しても、ほとんど同じ結果が得られます。
(厳密には標数0の可換体の場合なら同様の議論ができると思います)
RやCで書かれているのは、おそらく学習者にとってイメージがつかみやすいためと、
工学への応用を考えると、RやCでの議論で十分だからでしょう。

ややこしいのは体kが非可換体だとか、標数0以外の体の場合です。
この場合はおそらく少し違う結果が得られるかもしれません。
この辺は私の知識では確かなことは言えません。
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この回答へのお礼

おふたがたとも、詳細な説明ありがとうございました。

お礼日時:2001/10/02 23:56

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QPLC(PN-100HD)について。

PLC(PN-100HD)について。
PLC(PN-100HD)を中古で買ったのですが、説明書も何も本体しか入ってなかったので設定のしかたなどがよくわかりません。
コレです⇒http://web116.jp/shop/netki/pn100hds/pn100hds_00.html
僕の考えでは・・・
リビング モデム⇒ルーター(WEPキー)⇒PLC

部屋 PLC⇒PC
というふうな感じで接続したいのですが、どうすれば接続できるかわかりますか?
⇒はLANケーブルで、PLCは電源をさすことはわかってます。
:モデムはWEPキーを外さないでやることと考えてください
:ADSLです
:ルーターはWARP STARです
・ あとパソコンはwindows7です
なるべく簡単な接続方法を教えてください。(素人なんで簡単じゃないと全くわかりませんw)
以上ですが、この質問に回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

↓を参考にして設定してください。
http://web116.jp/ced/support/version/broadband/pn_100hd/pdf/PN-100HD-S_guide.pdf

ちゃんと、1台(ルータ側)がマスターとなり、もう一台がターミナル担っていることを確認してください。
その上で、マスターから電源を入れ、数分経ってからターミナルの電源を入れる。
この状態で、「PLCリンク状態  切断」となっているならば、機械が壊れているか、屋内配線がPLC通信に対応していない(配電盤とかの取り回しで対応しない場合もあります)と思われます。

ちなみにPLCリンクをするだけですから、OSはなんでもかまいません。
OSが関係するのはファームのアップデートなどの場合だけで、通信の可否については全く関係ありません。

QR^∞とR^NとR^ωと∪[n=1,∞]R^nの違いは?

1次元空間をR、
2次元空間をR^2とします。

それを続けて、先にある空間を考えたいとします。
そのとき、

R^∞とR^NとR^ωと∪[n=1,∞]R^nの違いはなんですか?

たしか微妙な違いがあったと思いますが、整理できていないので、ご教示ください。

Aベストアンサー

> R^∞とR^NとR^ωと∪[n=1,∞]R^nの違いはなんですか?

記号は分野によっても使い方に違いがある場合があるので、それぞれの具体的な定義を書き下してください。
ついでに、自分で具体的な定義を書き下せば、それらの違いは明白になると思います。

Qpn接合ダイオード

pn接合ダイオード
pn接合素子に順方向電圧をかけると電子と正孔の再結合が起こると思いますが,それが非発光か発光かは半導体の欠陥などによって決まるのでしょうか?いま,発光ダイオードについて調べていたのですが,ふつうのダイオードも発光ダイオードの構造も変わらないような気がします.それならダイオードも発光してることになるのではと思いました.

発光ダイオードは光を取り出せるようにしてあるということでしょうか?また,調べていると発光はpn接合面で起こると書かれているのですが,実際はp型中でもn型中でもおこるように思います.どうでしょうか?(金属銅線中ではさすがにおこらない?)

Aベストアンサー

>非発光か発光かは半導体の欠陥などによって決まるのでしょうか
光らない普通のpn接合ダイオードでも再結合が起きますが、使われている材料(シリコン)がもともと光りにくい性質(間接遷移型)なので光ることはありません(欠陥が全くなくても光りません)。一方、発光ダイオード(LED)に使われている材料(AlGaAsやGaInN)はもともとよく光る性質(直接遷移型)なので、再結合が起きれば発光します(多少の欠陥があっても)。欠陥が多ければ非発光になる確率が増えて発光効率が落ちますが、再結合して光るかどうかは、pn接合を構成している材料が何かで決まります。

半導体工学で学習されたかと思いますが、光らない普通のpn接合ダイオードに順方向電圧をかけると、n型半導体側から電子が、p型半導体側から正孔が注入されます。電流が非常に小さい領域では、電子と正孔が再結合することで電流が流れます(途中で再結合するため、電子と正孔は反対側まで到達しない)。電流が大きくなっていくと、再結合による電流に加えて、電子がn型からp型に拡散し、正孔がp型からn型に拡散することで流れる拡散電流の割合が増えていきます。さらに電流を大きくすると、流れる電流のほとんどは拡散電流だけになります(再結合電流自身が減るのでなく、拡散電流の大きさに対して相対的に割合が減るということ)。

再結合電流が支配的な低電流領域では、電流 ∝ exp{ q*印加電圧/(2*k*T) } となります(q は素電荷、k はボルツマン定数、T は絶対温度)。一方、拡散電流が支配的なところでは、電流 ∝ exp{ q*電圧/(k*T) } となります(k*Tの前に2がついていない)。電流の対数を縦軸に、電圧を横軸として、電流-電圧特性のグラフを描くと、それぞれの領域で傾斜が異なる(再結合電流が支配的なところでは傾斜が緩い)ので、どちらの電流が支配的かが分かります。

LEDの場合も、構造が同じpn接合なら、同じ電流-電圧特性になりますが、LEDの場合は再結合でしか発光しないので、拡散電流が増えても、発光強度はそれに応じて増えません(電流を増やすと発光強度の増加率が鈍化する)。

>実際はp型中でもn型中でもおこるように思います
単純なpn接合のLEDなら、接合面以外のところでも再結合は起きます。
n型層に注入された電子は、接合界面を通り過ぎて、p型層にまで拡散します。p型層に注入された正孔も、接合界面を通り過ぎて、n型層にまで拡散するため、接合面以外のところにも電子と正孔が存在するため、接合面以外のところでも再結合は起こります。

ただし、最近の高輝度LED(赤・緑・青・白色)は、単純なpn接合ではありません。量子井戸構造といって、発光色に対応したバンドギャップを持つ発光層を、それより大きなバンドギャップを持つ層でサンドイッチした構造になっているので、n型層に注入された電子は、接合界面(量子井戸層)を通り過ぎることはできず、量子井戸に落ち込み、そこに閉じ込められます。p型層に注入された正孔も量子井戸に落ち込み、その先には進めないようになっているので、電子と正孔が同居しているのは量子井戸層だけになります。したがって、量子井戸構造のLEDでは、再結合は量子井戸層でしか起こりません(このため再結合効率が良くなって発光効率が向上します)。したがって、LEDの電流-電圧特性は、電流 ∝ exp{ q*電圧/(2*k*T) } となる領域がほとんどを占めます。

>非発光か発光かは半導体の欠陥などによって決まるのでしょうか
光らない普通のpn接合ダイオードでも再結合が起きますが、使われている材料(シリコン)がもともと光りにくい性質(間接遷移型)なので光ることはありません(欠陥が全くなくても光りません)。一方、発光ダイオード(LED)に使われている材料(AlGaAsやGaInN)はもともとよく光る性質(直接遷移型)なので、再結合が起きれば発光します(多少の欠陥があっても)。欠陥が多ければ非発光になる確率が増えて発光効率が落ちますが、再結合して光るか...続きを読む

QF_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)} の因数分解

F_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)} 
(n=1,2,3,4,5)
を因数分解せよ、という問題なのですが、どすればよいのでしょうか?

なお、答えは、

F_1=3(b+c)(c+a)(a+b)
F_2=5(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^2+Σab)
F_3=7(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^4+2Σa^3 b+3Σa^2 b^2+5Σa^2 bc)
F_4=3(b+c)(c+a)(a+b)(3Σa^6+9Σa^5 b+19Σa^4 b^2+35Σa^4 bc+23Σa^3 b^3+63Σa^3 b^2 c)
F_5=11(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^8+4Σa^7 b+11Σa^6 b^2+21Σa^6 bc+9Σa^5 b^3+54Σa^5 b^2 c+23Σa^4 b^4+84Σa^4 b^3 c+123Σa^4 b^2 c^2+159Σa^3 b^3 c^2)

のようなのですが、(b+c)(c+a)(a+b)を因数に持つことは分かりますが、残りの因数はどうやってもとめるのでしょうか?

一文字を変数と見て、地道に割り算するしかないのでしょうか?
効率的な計算方法はありますでしょうか?

F_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)} 
(n=1,2,3,4,5)
を因数分解せよ、という問題なのですが、どすればよいのでしょうか?

なお、答えは、

F_1=3(b+c)(c+a)(a+b)
F_2=5(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^2+Σab)
F_3=7(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^4+2Σa^3 b+3Σa^2 b^2+5Σa^2 bc)
F_4=3(b+c)(c+a)(a+b)(3Σa^6+9Σa^5 b+19Σa^4 b^2+35Σa^4 bc+23Σa^3 b^3+63Σa^3 b^2 c)
F_5=11(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^8+4Σa^7 b+11Σa^6 b^2+21Σa^6 bc+9Σa^5 b^3+54Σa^5 b^2 c+23Σa^4 b^4+84Σa^4 b^3 c+123Σa^4 b^2 c^2+159Σa^3 b^3 c^...続きを読む

Aベストアンサー

最後までは計算していませんが、次の方法でできそうです。
F_n = (b+c)(c+a)(a+b)(Σ[ABC] k_ABC a^A b^B c^C) とおきます。
(ここで、A+B+C = 2n+1 です。)
展開すると、F_n = (a^2 b + 略 + 2abc)(Σ[ABC] k_ABC a^A b^B c^C) です。
そして、F_n を例えば、a で A+2 回偏微分、a で B+1 回偏微分、
a で C 回偏微分、した後、a,b,c に 0 を代入します。
F_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)} に対しても同じようにします。
このようにすると、例えば C > 0 であれば、
k_ABC (A+2)!(B+1)!(C)! = (2n+1)! となり、係数が得られます。

Qpn接合の熱平衡状態の電位差

下記の内容についての質問です。

熱平衡状態は電気二重層による静電ポテンシャルと、
電子の濃度差に伴う化学ポテンシャル(電子濃度のポテンシャル)
が釣り合った状態と言うことができる。
このため熱平衡状態においては、pn接合両端の電圧はゼロである。
(Wikipedia pn接合より抜粋)

ここで、電位差について質問があるのですが、

pn接合で
電位差が0と言っているのに、
なぜその時拡散電圧が存在しているのでしょうか?

それと、
順バイアスをかけたときに、
なぜその電圧をこえるま電流が流れださないのでしょうか?

電位差が平衡状態で0ならちょっと順バイアスかけただけ電流は流れると思うのですが、、、
よろしくおねがいします。

Aベストアンサー

拡散電流と電界による電流という2つ別々の電流がある訳ではありません。濃度勾配がある時に期待できる電子の流れと、電界がある時に期待できる電子の流れが逆向きで大きさが等しい状況なのです。実際には、電子(正確には自由電子)は動きません。すなわち、電子による電流はありません。
この時、正孔についても同じように密度勾配が出来ます。正孔の電界による電流は電子と逆向きになりますから、正孔の勾配も電子と逆になります。こちらも、2つの作用がバランスし、正孔の正味の動きはありません。

Q極限値lim[n→∞](3^n/(2^n+n^2))とlim[n→∞](2^n+3^n)^(1/n)の求め方は?

(1)lim[n→∞](3^n/(2^n+n^2))
(2)lim[n→∞](2^n+3^n)^(1/n)

の極限値がわかりません。
(1)は3^nで分母・分子を割って
lim[n→∞](3^n/(2^n+n^2))
=
lim[n→∞][1/{(2/3)^n+n^2/3^n}]
までいけたのですがn^2/3^nが収束するのか発散するのか分かりません。
どうなるのでしょうか?

あと、(2)は対数を取って
lim[n→∞]log(2^n+3^n)^(1/n)
=
lim[n→∞](1/n)log(2^n+3^n)
までいけたのですがここから先へ進めません。

Aベストアンサー

YYoshikawaさん、こんにちは。

[(1)について]

> n^2/3^nが収束するのか発散するのか分かりません。

まず感覚として、ANo.1さんも書かれているように、n=100で考えてみると、
 n^2/3^n = 10000/3^100
ですが、3^2=9 が大体10ですから、3^100 は、10^50 ぐらいなわけで、0が50個ぐらいつきますから、10000などよりは、はるかに大きくなります。つまり n^2/3^n → 0 が予想できます。

数式では次のように証明できます。

まず、n^2/3^n はnが大きいとき単調減少です。
実際、a(n)=n^2/3^n とおき、

 a(n+1)/a(n) = [(n+1)^2/3^(n+1)]/[n^2/3^n]

と比をとってみると、

 a(n+1)/a(n) = [1+(1/n)]^2/3 = [1 + 2/n + 1/n^2]/3 … (3)

ですが、nが大きいときには、2/n < 1, 1/n^2 < 1 なので、(3)は、

 a(n+1)/a(n) < 1

となり、単調に減少することがわかります。
まずこの時点で発散はしないことがわかります。
また、a(n) > 0 なので、lim_{n→∞} a(n) ≧ 0 となります。

もし、a(n) の収束値bが、正の有限値なら、n→∞で、
 a(2n)/a(n) → b/b = 1
になるはずですが、
 a(2n)/a(n) = [(2n)^2/3^{2n}]/[n^2/3^n] = 4/3^n → 0
になるので、収束値bは正の有限値にはなりません。

従って、
 lim_{n→∞} a(n) = 0 … (4)
が得られます。

[(4)の別証]
(3)式 a(n+1)/a(n) = [1+(1/n)]^2/3 = [1 + 2/n + 1/n^2]/3 より、
n>10で、
 a(n+1)/a(n) < [1 + 2/10 + 1/100]/3 < 2/3
故に、n→∞ のとき、
 0 < a(n) = [a(n)/a(n-1)]・[a(n-1)/a(n-2)] ・…・ [a(12)/a(11)]・a(11)
      < (2/3)^{n-11}× a(11) = (2/3)^n × (3/2)^{11}a(11) → 0
故に
 lim_{n→∞} a(n) = 0
が得られる。
(別証終わり)


[(2)について]

まず感覚的なことを説明しますと、nが大きいとき、2^nは3^nに比べてはるかに小さくなるので、基本的に、lim[n→∞](2^n+3^n)^(1/n)の、2^n+3^nの部分は3^nに近づくことがわかり、問題の式は(3^n)^{1/n}=3 になることが予想されます。

これを式で言うには、対数をとるより、

 lim_{n→∞} [3^n×{1+(2/3)^n}]^{1/n}
 = lim_{n→∞} 3×[1+(2/3)^n]^{1/n} … (5)

と変形するのが良いでしょう。(2/3)^n → 0 なので、
 [1+(2/3)^n]^{1/n} → 1 … (6)
なので、
 (5) = 3
になります。


なお、(6)が明らかと思われない場合は、
 1 = 1^{1/n} < [1+(2/3)^n]^{1/n} < 1+(2/3)^n → 1
(∵ a > 1 に対して、a^{1/n} = (a^{1/n})^n = a )
より、[1+(2/3)^n]^{1/n} → 1
と証明します。

YYoshikawaさん、こんにちは。

[(1)について]

> n^2/3^nが収束するのか発散するのか分かりません。

まず感覚として、ANo.1さんも書かれているように、n=100で考えてみると、
 n^2/3^n = 10000/3^100
ですが、3^2=9 が大体10ですから、3^100 は、10^50 ぐらいなわけで、0が50個ぐらいつきますから、10000などよりは、はるかに大きくなります。つまり n^2/3^n → 0 が予想できます。

数式では次のように証明できます。

まず、n^2/3^n はnが大きいとき単調減少です。
実際、a(n)=n^2/3^n とおき、...続きを読む

Qpn接合の整流性について

pn接合には整流性があると言われています。もし仮に真性半導体(i型)とn型半導体を接続してもpn接合同様整流性はあるのでしょうか。自分でエネルギーバンド図を書いて、順方向にバイアスをかけたり、逆方向にバイアスをかけてみたりして考えたのですが、自信の持てる結論が思いつきません。ぜひ、お力をお貸ししていただけないでしょうか。

Aベストアンサー

P型とN型の間に真性半導体(i型)を挟み込んだダイオード(PINダイオード)が商品化されています。
このダイオードは通常のPN接合型と同様に整流作用を持ちます。
http://powerless38.blog98.fc2.com/blog-entry-3.html

PINダイオードには高周波用と電力用の2種類が有ります。

高周波用は逆バイアス時の端子容量が少ない事と順バイアス時のインピーダンスが低い事を利用した高周波スイッチ用と、バイアス電流によってインピーダンスが変化する事を利用したアッテネータ用の2種類が有ります。
http://www.nteku.com/diode/pin_diode.aspx
http://www.rohm.co.jp/web/japan/search/parametric/-/search/Standard%20PIN%20Diodes

QPN接合について

PN接合で、理想的な接合理論から電流密度を求める式はどんな式ですか?教えてください。

Aベストアンサー

#1から追伸

「電流密度を求める式」は理論的に以下の式です。
J=enC(exp(-φ/KT))(exp(eV/KT)-1)=enC{exp(V-φ)/kT -1}
J:電流密度 e: 電荷 n:は半導体内のキャリア密度 φ:バンドギャップ
V:印加電圧 K:ボルツマン定数 T:温度K C:定数
#1では1を引いてませんでした。1は普通無視しています。
参考まで

Qn次元球面、S^n={(a^1,・・・,a^n+1)∈R^n+1|(a

n次元球面、S^n={(a^1,・・・,a^n+1)∈R^n+1|(a^1)^2+・・・+(a^n+1)^2=1}が可微分多様体の構造をもつことを示せ。

という問題で、証明の中でいくつかわからないところがあります。わからない部分を≪≫で書きます。

証明)Vi^+={(a^1,・・・,a^n+1)∈S^n|ai<0}
   Vi^-={(a^1,・・・,a^n+1)∈S^n|ai>0} (i=1,・・・,n+1) とおくと
≪これらはS^nの開集合でありS^nを覆っている。≫←この部分は当たり前に言えてしまうのでしょうか?
≪これらのVi^+,Vi^-がR^nの開集合E^n={(x^1,・・・,x^n)∈R^n|(x^1)^2+・・・+(x^n)^2<1}と同相であることを示す。≫←何故、同相であることを示すのでしょうか?

写像φi:Vi^+→E^n  φi^-1:E^n→Vi^+を実際に移していく。
この後は何とかわかるのですが最初の方の疑問をどなたかお願いします。

Aベストアンサー

≪これらはS^nの開集合でありS^nを覆っている。≫
開集合であることも、ほぼ自明ですよね。
本当に証明するなら、Vi^+(あるいはVi^-)の任意の点の近傍が、Vi^+(あるいはVi^-)に含まれることを言えばいいです。
また、
V0^+ ∪ V0^- ∪ … ∪Vn+1^+ ∪ Vn+1^- = S^
なんで、実際、覆ってますよね。

≪これらのVi^+,Vi^-がR^nの開集合E^n={(x^1,・・・,x^n)∈R^n|(x^1)^2+・・・+(x^n)^2<1}と同相であることを示す。≫
何故?って、これは多様体の定義そのものです。

多様体というのは、一言で言えば、つまり、
「局所的にユークリッド空間と(同相だと)みなせるような図形のこと」です。
とりあえず、Wikipediaのページの説明を見て、多様体とは何なのか直感的な理解をつかんでください。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93


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