数学の問題の解説をお願いします。 Xを正の実数とする。四面体OABCにおいてOA=OB=OC=AC=

数学の問題の解説をお願いします。
Xを正の実数とする。四面体OABCにおいてOA=OB=OC=AC=BC=1 AB=2Xとする
(1)Xの取りうる値の範囲
(2)四面体の体積をXを用いて表せ
(3)(1)の範囲を動く時四面体OABCの体積の最大値を求めよ

特に(1)は三角形の成立条件だと思ったので0<X<1だと思ったのですが答えが異なっていてわかりません…

質問者からの補足コメント

• AIは(1)の答えが私のものと同じになってしまってわからなかったです

    補足日時：2025/05/11 18:07

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2025/05/12 11:36

No.3 です。

あ、ごめん、ちょっと書き間違い。

（誤）
(3) で

＞0 < X < √3 より 0 < Y < 3 であり、その範囲で f(Y) は Y=3/8 のとき
＞最大値 9/16 をとる。

↓

（正）
0 < X < (√3)/2 より 0 < Y < 3/4 であり、その範囲で f(Y) は Y=3/8 のとき
＞最大値 9/16 をとる。

ですね。最終的な答には影響しませんが。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2025/05/12 11:25

No.2 です。

時間があるので続き。

(1) は、四角錐 OABC がペチャンコになったときの AB が最大で、そのときには正三角形である△OAC, △OBC が２個くっついて、OC が共通辺になるので、AB はその対角線で
　AB = ACsin60° + BCsin60° = [(√3)/2] × 2 = √3

AB の最小値は、ＡとＢがくっついたときで、そのとき AB=0 になる。

従って、AB = 2X のとりうる範囲は
　0 < 2X < √3
よって
　0 < X < (√3)/2

(2) 四面体は、(1) で考察したように、正三角形 △OAC, △OBC が、辺OCを共通にしながら AB 間を開いて行くことになる。
このとき、辺AB が共通で、OA = CA = 1, OB = CB = 1 なので
　△OAB ≡ △CAB
の関係になっている。

四角錘の体積は
　V = (1/3) × △ABC × h　　　①
で求めればよい。

ここで、AB の中点を P とすれば AB ⊥ CP で、∠ACP = ∠BCP = θ とすれば
　CP = ACcosθ = BCcosθ = cosθ　　　②
　AP = BP = ACsinθ = BCsinθ = sinθ　　　③
となり
　△ABC = (1/2) × AB × CP = (1/2) × 2AP × CP = sinθcosθ　　④
と書ける。

また、OC の中点を Q とすれば OC ⊥ PQ で、∠OCP = φ とすれば
　h = OCsinφ = sinφ　　　⑤
また
　PQcosφ = CQ = 1/2
なので、②より
　cosφ = 1/(2cosθ)　　　　⑥

以上より、①に④、⑤を代入して
　V = (1/3)sinθcosθsinφ　　　　⑦

ここで、0 < φ < 60° なので、sinφ > 0 であるから
　sinφ = √[1 - cos^2(φ)]
であり、⑥を使えば
　sinφ = √{1 - 1/[4cos^2(θ)]} = {√[4cos^2(θ) - 1] }/(2cosθ)

これを⑦に代入すれば
　V = (1/6)sinθ{√[4cos^2(θ) - 1]}
　　= (1/6)sinθ{√[4 - 4sin^2(θ) - 1]}
　　= (1/6)sinθ{√[3 - 4sin^2(θ)]}
　　= (1/6)√[3sin^2(θ) - 4sin^4(θ)]　　　⑧

ここで
　2X = AB
つまり
　X = AP = BP = sinθ
であることを思い出せば、⑧は
　V = (1/6)√(3X^2 - 4X^4)　　　　⑨
　　= (1/6)X√(3 - 4X^2)
　
(3) V が最大になるのは⑨のルート内が最大になるときなので、X^2 = Y とおいて
　f(Y) = 3Y - 4Y^2
　　　= -4[Y^2 - (3/4)Y + 9/64 - 9/64]
　　　= -4[Y - (3/8)]^2 + 9/16

0 < X < √3 より 0 < Y < 3 であり、その範囲で f(Y) は Y=3/8 のとき
最大値 9/16 をとる。
従って、体積の最大値は
　Vmax = (1/6) × √(9/16) = 1/8

計算ミスがあるかもしれないので、自分でトレースしてください。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2025/05/11 21:00

＞特に(1)は三角形の成立条件だと思ったので0<X<1だと思ったのですが

底面の三角形の成立条件は
　0 < 2X < 2
ですが、
　OA=OB=OC=1
の「つっかえ棒」があるので、∠ACB は 180° までは広がりません。
ペチャンコになったときに、△OAC, △OBC はそれぞれ正三角形になりますから、そのとき ∠ACB = 120° なので
　0 < 2X < √3
です。

No.1 回答者： Google-it 回答日時： 2025/05/11 17:37

Geminiに聞けば2秒で答えが出ましたよ、お試しください。