大学数学 測度の問題について

測度の問題です。
F(x) は単調増加で、すべての有限区間において絶対連続とする。このとき、a.e.-x に対して導関数 F'(x) が存在し、F'(x) ≥ 0、そして F(b) − F(a) = ∫ₐᵇ F'(x) dx が成り立つ。このとき、次を証明せよ。

(1) F(A) = ∫_A F'(x) dx, A ∈ ℬ

(2) ∫_ℝ g(x) F(dx) = ∫_ℝ g(x) F'(x) dx

申し訳ないのですがこちらの問題の証明を詳しく回答解説していただきたいです。
理解できず困っています。何卒よろしくお願いいたします。

当方学習した内容は基本的な測度の定義やルベーグスティルチェス測度です。