複素数

次の複素数を極形式で表せ。ただし、0°≦θ＜360°
z=1-(cosθ+isinθ)

z=1-(cosθ+isinθ)
=1-cosθ-isinθ
=2sin^2θ/2-2isinθ/2cosθ/2
=2sinθ/2(sinθ/2-icosθ/2)
=2sinθ/2{cos(90°-θ/2)-isin(90°-θ/2)}
=2sinθ/2{cos(θ/2-90°)-isin(θ/2-90°)}

となるそうです。
極形式で表せということは
z=r(cosθ+isinθ)にもっていくことは分かるのですが、そのもって行きかたが分かりませんでした。
式の1行目から2行目は普通の展開ですよね。
2行目から3行目とそれ以降は何をしているのですか？
すいませんが解説をお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： mikisuke_0226 回答日時： 2005/06/03 22:56

=1-cosθ-isinθ

=2sin^2θ/2-2isinθ/2cosθ/2

→sin,cosの2倍角の定理です。
cosθ=(cos^2)θ/2-(sin^2)θ/2
=1-2sin^2θ/2
これより、1-cosθ=2sin^2θ/2
sinθ=2sinθ/2cosθ/2

この2本を使っています。

=2sin^2θ/2-2isinθ/2cosθ/2
=2sinθ/2(sinθ/2-icosθ/2)

→2sinθ/2でくくっただけです。

=2sinθ/2(sinθ/2-icosθ/2)
=2sinθ/2{cos(90°-θ/2)-isin(90°-θ/2)}

→sinθ=cos(90°-θ),cosθ=sin(90°-θ)だからです。

=2sinθ/2{cos(90°-θ/2)-isin(90°-θ/2)}
=2sinθ/2{cos(θ/2-90°)-isin(θ/2-90°)}

→多分2sinθ/2{cos(θ/2-90°)+isin(θ/2-90°)}の
誤りかな？と思います。
使ったのはcos(-θ)=cosθ,sin(-θ)=-sinθっていう公式です。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
1行ごとの解答のおかげで勉強になります。

お礼日時：2005/06/07 20:05

No.2 回答者： noname#17965 回答日時： 2005/06/04 01:32

えーと、この解答は、、、いわゆるキレイキレイな模範解答であって、イキナリこんなこと書ける人は余程の天才です。

普通は御質問にあるように「そのもって行きかた」に従って変形します。で、その変形途中で「お、こうすればいいじゃん」と気が付いて質問のような模範解答になるのです。ちょっと泥臭い式をずらずらと書きます。

√{(1-cosθ)^2+(sinθ)^2}*[(1-cosθ)/√{ }+isinθ/√{ }]
√{ }は中身を省略して書いてますが、この中身を整理すると√{2(1-cosθ)}
これでも一応、極座標表示と強引に主張することは出来ます。r(cos+isin)になってますから（笑）でも、、まあ、点はもらえないでしょうね。もうちょっとスッキリした形にしたいですね。しかしこれ以上整理しようとすると、√{1-cosθ}が邪魔になってしまうのです。そこで＃１にもあったように半角の公式使って
cosθ=1-2{sin(θ/2)}^2を使うと√部分の計算は、
√{2sinθ/2}^2=√2*|sinθ/2|
ここでθの範囲を考えると0≦sinθ/2なので
√2*sin(θ/2)
ここまで簡略化出来ます。素晴らしい。後はこれを代入してガリガリ計算しても答えに辿り付けるのでが、、、、、

ちょっと待て、1-cosθは最初の式にあるじゃないか。だったら最初から変形しとけ！ついでにsinθも。その方がすっきりした解答になる（見た目にもきれいに見える）、ということで御質問の解答となるのです。

上記のような通常の変形は必ずやる必要があります。答案用紙には書きませんが。これをやって初めて模範解答を思いつくのですから。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
個人的にはこのやり方だいすきです。
がんばって勉強します。

お礼日時：2005/06/07 20:00