(1)変数 x,y の間に x+y=4の関係があるとき、P=x2+y2の最小値はアであ る。さらにx≧0・y≧0の条件が加われば、Pの最大値はイである。 
(2)二次関数F(x)=x2+(1-a)x+bのグラフがx軸から切り取る線分の長 さが1のとき、a,bの間にはb=ウa2+エaの関係があり、bのとり得る範囲はb ≧オである。
(3)F(x)=x2-2kx+k2+2について次の問に答えよ。ただしkは定数と する。
 1,任意のxについてF(x)≧6が成り立つとき、kの最小値はk=カであ    る。
 2,y=F(x)のグラフがx軸と交わる点を(a,0),(5a,o)とするとa=キまた はクである。

この3問のア~クを教えてください。あっ、x2などの2は二乗のことです。それと説明など加えていただけるとうれしいです。

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A 回答 (5件)

(3)は問題がやはり違っていたんですね。

(あんなこといって間違えてたらと・・・)
答えはCake0530さんのやり方と一緒です。
一箇所だけ。
f(x)=x^2ー6a+5a^2はf(x)=x^2ー6ax+5a^2です。(xが抜けてました)
あら捜しのようですみません。
平方完成したときに下に凸のグラフは最小値が、上に凸のグラフは最大値が現れます。こういった問題はそこが良く狙われるかと思います。
最後に、グラフがかけそうであれば書いてやった方が良いです。2つグラフが出てきたりするときに図を書くと気づく事も多いです。
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この回答へのお礼

ありがとうございます(^_^)すみません、2度も答えてもらって・・・

お礼日時:2001/10/11 19:25

 (2)ですが、高校1年生なら敢えて解く必要もないかと思います。

解答を見て“ふ~~~ん”くらいで。2年生で習う“解と係数の関係”ってやつを使ったほうが早いです。(やり方を知っておくのは良いことだと思うけど)

 red_snakeさんの手柄を横取りするようで気が引けるけど、ついでに(3)の解答を・・・。

 解〕 平方完成によって、f(x)=(x-k)^2+2k+2。下に凸のグラフを思い浮かべて、最小は頂点のy座標(2k+2)だから、2k+2≧6。これを満たす最小のkはk=2。(前半の解答)

 また、a、5aを解に持つことから、f(x)はf(x)=(x-a)(x-5a)と因数分解できて、展開するとf(x)=x^2ー6a+5a^2。これが与式と係数比較できるから -2k=-6a かつ k^2+2k+2=5a^2。これをaについて解けば(計算略)a=-1、-1/2(後半の解答)

 僕が高校1年生のときってこんなに難しい問題解けたっけ・・・(汗)

(ポイントをあげるならred_snakeさんに差し上げて下さい。僕が手柄横取りみたいな形になっちゃったから)
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(1)はx+y=4をx^2+y^2に代入しyを消去します。


P=2x^2-8x+16=2(x-2)^2+8
以上よりx=2のとき最小値8
また、条件から0≦x≦4、0≦y≦4となります。
グラフはx=2に関して対称なのでx=0,4のとき最大値16

(2)は解と係数の関係からが一番良いでしょう。
答えはnewtypeさんの物を参照してください。
付け足しておきますと、解を置くときにはα、βの大小を必ず書きましょう。自分でつくった物ですから勝手に決めてかまいません。││は面倒な事になるときもありますので・・・。

(3)は問題文が違う気がします。
もしやと思いk^2を2kとしてやりましたが解が虚数になったので出来ませんでした。
問題文が違っていないのなら相当の悪問です。

最後に、最大最小の問題は平方完成をする事を習慣にしたほうが良いです。

この回答への補足

すみません!!3番の問題ですがやはり問題文が間違っていました。正確には、F(x)=x^2-2kx+k^2+2k+2です。本当にすみませんm(_ _)mあの、1番と2番の考え方はわかったのですが3番がわかりません。もう一度ご説明いただければうれしいです。

補足日時:2001/10/08 09:16
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「上に開いている二次関数」なかなか的確な表現です。


rnalaidさんの書き方によると
「下に開いている二次関数」というのもあるね。

さてちょっとした理論を紹介しよう。
<曲線の凹凸の幾何学的定義>
曲線y=f(x)が与えられていてa≦x1≦x2≦bなる任意の定数x1,x2に対して、
点A{x1,f(x1)},点B{x2,f(x2)}とするとき、
(1)弧ABが常に線分ABの下側にあるときは曲線y=f(x)は、a≦x≦bで下に凸という。
また、
(2)弧ABが常に線分ABの上側にあるときは曲線y=f(x)は、a≦x≦bで上に凸という。

したがって「上に開いている2次関数」は(1)の定義にあっているので下に凸だ。だから「下に凸な2次関数の曲線、あるいはグラフ」と表わせばよい。

また、以下の表現があった方がいいですね。
「したがってこの場合は頂点の座標が最小値と考えられるので…」
採点官はわかってるだろうけど、以下の言葉だけだと不十分でしょ。
「そしてPに代入してP=x^2+(4-x)^2=2x^2-8x+16=2(x-2)^2+8とすると上に開いて
いる二次関数となるので最小値ア=8(x=2のとき) 」

代入したのに「すると」なんて仮定したような言い方もおかしい。
出来れだけ採点官にわかりやすいように書かなければならない。だから必要もないのに一文字開けないこと。この事だけを気をつけても素晴らしい解答がかけると思います。
また次の最大値ですがx=4のときも最大値16です。これも忘れずに。

(2)はrnalaidさんのやり方は計算ミスの多い私にはやりたくない解法です。だから解と係数の関係を使った解法で考える。(高校2年の数学Bで習うはず)

F(x)=0の解をα,βとすると、解と係数の関係より、
α+β=a-1,αβ=bよって、
(α-β)^2=(α+β)^2-4αβ=(a-1)^2-4b
問題文より、|α-β|=1なので、
1=(a-1)^2-4b…(☆)
後は簡単だね。

(3)
<1>
まず平方完成する。するとkが動いてもminF(x)=2≦6
したがって任意のxについてF(x)≧6は不成立。
つまり問題は不能。

<2>1の問題が怪しいので解答はしない。

これで終わり。次からは自分考えること。
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この回答へのお礼

詳しい説明、ありがとうございます。newtypeさんの説明をもう一度よく考えながら解いてみますね。

お礼日時:2001/10/07 13:34

(1)まず、x+y=4を変形してy=4-xとしてみる。



そしてPに代入してP=x^2+(4-x)^2=2x^2-8x+16=2(x-2)^2+8とすると上に開いて

いる二次関数となるので最小値ア=8(x=2のとき)

最小値のほうはx>=0,y>=0とy=4-x,x=4-yを考慮に入れるとx=0かy=0のとき

が最大値イ=16となる

(2)y=x^2+(1-a)x+bとおいて、y=0のときx^2+(1-a)x+b=0となり、これを解くと

x=-1+a±(√1+a^2-2a-4b)/2となる。x軸から切り取る線分の長さが1

だから[{-1+a+(√1+a^2-2a-4b)}/2]-[{-1+a-(√1+a^2-2a-4b)}/2]=1

これをbについて解いてウ=1/4,エ=-1/2となる。

************

ごめんちゃい(T_T)、ここから先はよくわかんなかった...。

ところで、この問題からすると高校一年生さんですか?

私も高校一年生です。このあたりの問題は結構得意だったはずなのですが、

見事に粉砕しちゃいました♪

数学は一人で黙々と勉強するのも良いでしょうけど、やっぱり複数人で

いっしょに考えていく方が楽しくて勉強の延びもはやいと思います。

だから、kirakira333さんもこの問題を解いた際に考えた過程を途中まででも

書いちゃいましょ♪そこから回答する人も学ぶことだってよくあることだし。

んじゃ、またの質問をお待ちしておりマース♪♪(答えられるかどうかはわか

んないけど...。) 
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この回答へのお礼

そうです、高1です!!ずっと前にやった問題が今になってできなくなってしまって・・・。ありがとうございます(^-^)

お礼日時:2001/10/07 13:31

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Qx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底,{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時,y1(x),y

[問] ベクトルx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底とする。
{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時、
y1(x),y2(x),y3(x)を求めよ。

という問題の解き方をお教え下さい。

双対基底とは
{f;fはF線形空間VからFへの線形写像}
という集合(これをV*と置く)において、
V(dimV=nとする)の一組基底を{v1,v2,…,vn}とすると
fi(vj)=δij(:クロネッカーのデルタ)で定めるV*の部分集合
{f1,f2,…,fn}はV*の基底となる。これを{v1,v2,…,vn}の双対基底と呼ぶ。

まず、
C^3の次元は6(C^3の基底は(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(i,0,0),(0,i,0),(0,0,i))
だと思うので上記のx1,x2,x3は基底として不足してると思うのです(もう3ベクトル必要?)。

うーん、どのようにしたらいいのでしょうか?

Aベストアンサー

>C^3の次元は6(

これが間違え.
「x1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底」
といってるんだから,係数体はRではなく,C.

あとは定義にしたがって,
dualな基底を書き下せばいいだけ.
y1(x1)=1,y1(x2)=y1(x3)=0であって
v=ax1+bx2+cx2と表わせるわけだし,
v=(v1,v2,v3)とすれば,a,b,cはv1,v2,v3で表現できる
#単なる基底変換の問題.

Q∫[a,b](f(x)+g(x))dx=∫[a,b]f(x)dx + ∫[a,b]g(x)dx の証明

ある本(微分積分学)を読んでいて、次のような定理の証明を考えています。

有界なf(x),g(x)が[a,b]でリーマン積分可能であるとき、f(x)+g(x)もそうであり、∫[a,b](f(x)+g(x))dx=∫[a,b]f(x)dx + ∫[a,b]g(x)dxが成り立つ。

定積分に関するごく初歩的な定理ですが、これを、上限と下限の不等式を使って証明しようとしているのですが、うまくいきません。ヒントには次のようになっています。

#以下の記述ですが、上の本は記号の表示に誤りを含んでいるように思われましたので正しい表示に直してあります。

ヒント
fに対する不足和、過剰和を、それぞれ、 s(f,Δ)、S(f,Δ)というふうに書けば、s(f,Δ)+ s(g,Δ)≦s(f+g,Δ)≦S(f+g,Δ)≦S(f,Δ)+ S(g,Δ) に注意せよ。

同書の略解
分割Δの小区間[a(i-1),a(i)]における f+g,f,g の下限をm(i),n(i),p(i)とすれば m(i)≧n(i)+p(i)、ゆえにs(f,Δ)+ s(g,Δ)=Σn(i)(a(i)-a(i-1)) + Σp(i)(a(i)-a(i-1))≦Σm(i)(a(i)-a(i-1))=s(f+g,Δ)同様にS(f+g,Δ)≦S(f,Δ)+ S(g,Δ) だから、inf(S(f,Δ))=sup(s(f,Δ))、inf(S(g,Δ))=sup(s(g,Δ))なら、inf(S(f+g,Δ))=sup(s(f+g,Δ))=、sup(s(f,Δ))+sup(s(g,Δ))

となっていますが、最後の等式がどうしても出てきません(その前までは理解できました)。行間を埋めていただけるとありがたいです。

s(f,Δ)+ s(g,Δ)≦s(f+g,Δ)≦S(f+g,Δ)≦S(f,Δ)+ S(g,Δ)

からそれぞれの辺のsup、infを考えるとできるのではないかとも思われるのですが、どうしてもわかりませんでした。

よろしくお願いいたします。

ある本(微分積分学)を読んでいて、次のような定理の証明を考えています。

有界なf(x),g(x)が[a,b]でリーマン積分可能であるとき、f(x)+g(x)もそうであり、∫[a,b](f(x)+g(x))dx=∫[a,b]f(x)dx + ∫[a,b]g(x)dxが成り立つ。

定積分に関するごく初歩的な定理ですが、これを、上限と下限の不等式を使って証明しようとしているのですが、うまくいきません。ヒントには次のようになっています。

#以下の記述ですが、上の本は記号の表示に誤りを含んでいるように思われましたので正しい表示に直してあります。

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Aベストアンサー

おそらく、同じ分割Δに対して、不等式、
s(f,Δ)+ s(g,Δ)≦s(f+g,Δ)≦S(f+g,Δ)≦S(f,Δ)+ S(g,Δ)
を考えているからわかりにくいのだと思います。

分割Δ1と分割Δ2を合体させた分割をΔ3とします。
Δ1の分割点x1,…,xmと、Δ2の分割点y1,…,ynを合わせた分割点
x1,…,xm,y1,…,ynによって[a,b]を分割するのがΔ3という意味。

小区間[x(i-1),xi]が2つの小区間[x(i-1),yj]と[yj,xi]に分割された
とすると、小区間[x(i-1),xi]でのinf(f)(xi-x(i-1))よりも、
2つの小区間[x(i-1),yj]と[yj,xi]での
inf(f)(yj-x(i-1))+inf(f)(xi-yj)の方が大きくなる。
sup(f)では逆に小さくなる。
(グラフを描いてみればわかると思います)

すなわち、分割を細かくすると、不足和は大きく、過剰和は小さくな
る。

なので、s(f,Δ1)≦s(f,Δ3)、s(g,Δ2)≦s(g,Δ3)
辺々足して、
s(f,Δ1)+s(g,Δ2)≦s(f,Δ3)+s(g,Δ3)
≦s(f+g,Δ3)≦sup(s(f+g,Δ))←これは、あらゆる分割Δに対するsup
という意味で使っているので、Δは分割の変数のような記号と思って
ください。

このように、別個の分割に対する不等式が示せたので、
s(f,Δ1)、s(g,Δ2)それぞれであらゆる分割を考えて、
sup(s(f,Δ))+sup(s(g,Δ))≦sup(s(f+g,Δ))

infのほうも同様です。

本の記述はわかりませんが、同じ分割に対してのみsup,infを考えてい
たのでは、やや曖昧な気がします。

しかし、私の大学時代の関数論が専門の教授は、一松信先生は大先生
だと絶賛していましたが・・・
おそらく、本の中で論理は通っているものと思われますが・・・

おそらく、同じ分割Δに対して、不等式、
s(f,Δ)+ s(g,Δ)≦s(f+g,Δ)≦S(f+g,Δ)≦S(f,Δ)+ S(g,Δ)
を考えているからわかりにくいのだと思います。

分割Δ1と分割Δ2を合体させた分割をΔ3とします。
Δ1の分割点x1,…,xmと、Δ2の分割点y1,…,ynを合わせた分割点
x1,…,xm,y1,…,ynによって[a,b]を分割するのがΔ3という意味。

小区間[x(i-1),xi]が2つの小区間[x(i-1),yj]と[yj,xi]に分割された
とすると、小区間[x(i-1),xi]でのinf(f)(xi-x(i-1))よりも、
2つの小区間[x(i-1),yj]と[yj,xi]での
inf(f)(yj-x(i...続きを読む

Q2直線 x/a+y/b=1, x/a+y/b=2(a>0, b>0)の

2直線 x/a+y/b=1, x/a+y/b=2(a>0, b>0)の間の距離を求めよ。

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Aベストアンサー

誤記なんてレベルでは済まないですよ。
 A.2直線は平行である。
 B.第一の直線が点(1,0)を通る。or B'.第一の直線上のどこかの点を第二の直線が通る。
 C.AがB(またはB')の根拠になっている。
このうち正しいのはAだけです。

第一の直線は点(a,0)を通る。
また、2直線は平行だから、点(a,0)から第二の直線までの距離を求めればよい。
とでも書くのなら良いのですが、論理が滅茶苦茶ですね。

Qx+y+z=0,2x^2+2y^2-z^2=0のとき,x=yであることを証明せよ。

クリックありがとうございます(∩´∀`)∩

 ★x+y+z=0,2x^2+2y^2-z^2=0のとき,x=yであることを証明せよ。

この問題について説明をお願いします。

Aベストアンサー

おおざっぱな説明になりますが、左の式を
z=-x-y
として、それを右の式のzに代入します。
それを展開してまとめると
x^2-2xy+y^2=0
という式になります。
あとはこれを因数分解すれば
(x-y)^2=0
となるので、x=yという答えがでます。
与えられた条件がほかになければこれでいいはずです。

Qx,yは実数x^2+y^2=36,y≧0を満たす時、(□-□√□)/5≦(y-3)/(x-9)≦□を埋めよ

こんばんわ。宜しくお願い致します。

[問]
x,yは実数x^2+y^2=36,y≧0を満たす時、
(□-□√□)/5≦(y-3)/(x-9)≦□
を埋めよ。

という問題で困ってます。
(y-3)/(x-9)=k
とおいてから
y=kx-9k+3
から先に進めません。
何か良い方法がありましたらお教え下さい。

Aベストアンサー

x^2+y^2=36,y≧0 は、原点中心の半径6の円の上半分
(y-3)/(x-9)=k
とおくと
(y-3)=k(x-9) は、(9,3)を通る直線
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「最小値は直線と原点の距離が6」という条件でやったらいいと思います。


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