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この数列を {an} とおいてみます。
a1 = 1
a2 = 2 + 1/3
a3 = 3 + 1/9 = 3 + 1/(3^2)
a4 = 4 + 1/27 = 3 + 1/(3^3)
ですから,a2 以降の分数部分は (1/3)^(n - 1) です。ですから,一般項は,
an = 1(n = 1 のとき)
an = n + (1/3)^(n - 1)(それ以外)
になります(場合わけがあることに注意;下の式で n = 1 とすると,1 + (1/3)^0 = 2 になってしまいます)。
ですから和 Sn は,
Sn = 1(n = 1 のとき)
Sn = (1 + 2 + 3 + … + n) + {1/3 + (1/3)^2 + (1/3)^3 + … + (1/3)^(n - 1)}(それ以外)
となります(これも場合わけがあります)。
和の記号を用いてあらわすと,
Sn = 1(n = 1 のとき)
Sn = 1 + sum[k = 2, n]{k + (1/3)^(k - 1)}
= sum[k = 1, n]k + sum[k = 1, n - 1](1/3)^k(それ以外)
となります。下については,1 から n までの和の公式と,等比数列の和の公式を使って n の式で表せます。
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