tanhというモノ

この間物体が空気中を落下し空気抵抗が速度の二乗に比例する場合の微分方程式

　dv/dt＝(mg-kv^2）／m　
（mは物体の質量、kは空気抵抗係数）

の特殊解はtanhというモノを使っていましたが、tanhというのはなんなのでしょうか？

　

No.1 回答者： kumataro_ 回答日時： 2005/08/11 11:18

参考URLをご参照の上、あとはご自分でお調べください。

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/Cosh

No.2 ベストアンサー 回答者： entree 回答日時： 2005/08/11 11:21

tanhθ = sinhθ / coshθ

sinhθ = (e^θ - e^(-θ)) / 2
coshθ = (e^θ + e^(-θ)) / 2

だったように思います。それぞれ、ハイパボリック・タンジェント、ハイパボリック・サイン、ハイパボリック・コサインと読みます。

なぜこのようなものが定義されているかというと、
オイラーの公式から

sinθ = (e^iθ - e^(-iθ)) / 2i
cosθ = (e^iθ + e^(-iθ)) / 2

が導かれますが、ここで虚数単位iを取ることで定義されたsinh、cosh等が、三角関数にやや似たような性質を持つところがあるからです。

それ以外はあまり深い意味はないと思います。

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2005/08/12 12:59

双曲線関数というやつですね.

#2 で書かれている sin, cos と sinh, cosh の関係ですが, sin や cos は普通「三角関数」と呼びますが, 点 (cos t, sin t) の軌跡が円を描くことから「円関数」と呼ぶこともあります. これに対して点 (cosh t, sinh t) の軌跡は x^2 - y^2 = 1, つまり直角双曲線 (の x 座標が正の部分) であることから sinh, cosh などを双曲線関数と呼びます. あとは三角関数と同様に tanh, sech なども定義されています.

No.4 回答者： info22 回答日時： 2005/08/25 21:16

tanh x＝{exp(x)-exp(-x)}/{exp(x)+exp(-x)}

＝{exp(2x)-1}/{exp(2x)+1}
　　　＝{1-exp(2x)}/{1+exp(-2x)}}
という関数です。

x → -∞で tanh x → -1に漸近,
x＝0 で 1,　
x → ∞で tanh x → 1に漸近
する -1＜tanh x ＜1 の範囲の値域をとる
単調増加の関数です。

ここで、exp(x)はe(自然対数の底)のx乗のことです。