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1,4,7,10,13,16,・・・・・・・・・

というように、自然数を規則性に並べた列がある。
1を一番目、4を2番目の数として数えるとき、次の問いに答えよ。


●この列にある数で、5で割ると3余り、7で割ると5余る数の中で最も小さい数を求めよ。



という問題です。
算数かもしれませんが・・・・。
誰も分からないので、ここに来ました。

答えは知ってるのですが、解き方が分からないのです。

できれば、小学生レベルでも分かるような説明をしていただければ幸いです。

宜しくお願い致します。

教えて!goo グレード

A 回答 (7件)

中学受験によくありそうな問題ですね。

やや詳しく…

「5で割ると3余り、7で割ると5余る数」
これは5の倍数より2小さく、かつ7の倍数より2小さい数のことを表しています。
そのため、5と7の最小公倍数は35なので、
35の倍数より2小さい数(35で割ると33余る数)であると考えられます。

ここで数列に注目すると、3ずつ増えていますよね。
よく見るとすべての数が3で割ると1余る数です。
だからこれまた3の倍数より2小さい数の集まりなんです。

35の倍数より2小さい数と3の倍数より2小さい数のうち最小のものは、
35と3の最小公倍数より2小さい数です。
35と3の最小公倍数はというと105です。
ここから2を引けばいいわけですから、答えは103となります。

全部が2を引いたものであると気づけばすぐに分かります!
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最初の数列は3の倍数から2を引いたものです。



5で割って3余る数は、5の倍数から2を引いたものです。

7で割って5余る数は、7の倍数から2を引いたものです。

いずれも「~の倍数引く2」という形になりますので、求める答えは3、5、7の最小公倍数から2を引いたものになります。

小学生でも計算で解ける問題です。
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まず,数字の並びは,3ずつ増えている.



はじめのほうの数字で試してみると,5で割った余りは,
1,4,2,0,3,1,4,2,0,3,・・・
また,7で割った余りは,
1,4,0,3,6,2,5,1,4,0,・・・
と,それぞれ,「1,4,2,0,3」と,「1,4,0,3,6,2,5」の繰り返しになっている.
5で割って3余るのは,「1,4,2,0,3」の「3」のところで,
5回目,10回目,15回目・・・
7で割って5余るのは,「1,4,0,3,6,2,5」の「5」のところで,
7回目,14回目,21回目・・・
の数.初めて重なるのは,5と7の最小公倍数のときで,35回目.

ところで,はじめの数は1,2つめの数は1+3=4,3つめの数は1+3×2=7なので,35回目に出てくる数は,1に3を34回足したもので,1+3×34で求まる.
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小学生では文字式は扱わないので・・・


1つずつ試して行くのがいいと思います。

試験に、解いた過程を要求されないのであれば、問題の内容から想定して場合によっては1ずつ試して行くのが手っ取り早い場合もあります。

まず、「5で割ると3余り」で

13, 28, 43, 58, 73, 88, 103, 118, ...

と15おきの数になることが想像できますね。
(実際には3x5=15だからなのですが)

次に、「7で割ると5余る」は

19, 40, 61, 82, 103, 124, ...

と21おきの数になることが想像できますね。
(実際には3x7=21だからなのですが)

ここまで来ると、もう答えは出てますね、103です。
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ちょっと力技ですが・・・というか算数レベルで解いてみました。



1,4,7,10,13,16,・・・・・・・・・
この数列は、【3で割って1余る】数列

【5で割って3余る】数列は
3,8,13,18,23,28,33,38,43,・・・・・
【7で割って5余る】数列は
5,12,19,26,33,40,47,・・・・

最初に共通に現れる数字は、「33」。しかしこれは【3で割って1余る】数字ではない。

上記のように、ひたすら人力でもいいのですが、
次に5と7の最小公倍数を出します。これは「35」ですね。
で、33に35ずつ順に数字を足していく。
そうすると、
33,68,103,138,・・・
この中で順に【3で割って1余る】数を見つければ良いのです。
答えは3番目の「103」ですね。
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もし#1さんの説明でわからない場合は、もう表を書いてみるしかないですね。


5で割ると3余る---->(3),8,13,18,・・・・・(5ずつふえていく)
7で割ると5余る---->(5),12,19,26,・・・・・(7ずつふえていく)
こういう表を100ちょっとまで書いてたしかめるしか、小学生レベルでは無理でしょうね。

ただ、こういう表ではなくて、1~200位の数をカレンダーみたいにたとえば1段に7つずつとか並べて書いておいて、該当する数字を消していくと、規則的に並びますのでその方が小学生レベルならやりやすいかも。
それで1,4,7のは縦線で、3,8,13のは左上から右下へひく線で、5,12,19のは右上から左下へひく線で消せば、三種類の消し線が引かれるのは、っていう単純作業でいけます。
ただし根性は必要ですが。
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1番目の条件を式で表すと1+3a(aは整数)


2番目の条件を式で表すと33+35b(bは整数)
ですから、これがイコールとなる最小値を探せばいいわけです。
1+3a=33+35b
3a=32+35b
aは整数ですから右辺も3の倍数になるので、0≦b≦2の範囲で式が成り立つのを探すとb=2となります。
代入すると3a=32+35*2=102
a=34です。
元に戻ると1+3a=1+3*34=103
従いまして解は103です。
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