どう考えればこの解法は思いつくか

【問題】
4つの自然数x y z wについて　
xyzw=x+y+z+w　（ただしx≦y≦z≦w）
が成立しているとき、x y z wの組をすべて求めよ

【解答】
x＝a+1　y=b+1　z=c+1　w=d+1　
(a　b　c　dは被負整数でa≦b≦c≦d）
これを与式に代入すると
(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)=a+b+c+d+4
これを変形して
abcd+abc+bcd+cda+dab+ab+ac+ad+bc+bd+cd=3
この式の左辺は非負整数の項11項の和になっており　右辺は3だから
左辺の各項のうち少なくても8つは0である
よってa　b　c　dの4数のうち少なくても2つが0である
a≦b≦c≦dなのでa=b=0このときcd=3なのでc≦dよりc=1 d=3
よってx=1 y=1 z=4 w=4



【質問】
この解答はどうすれば思いつくことができますか？
参考書では天下り式に解答が与えられているだけなのですが、
試験場でこの問題がパッとでたときにこれを思いつくのは至難の業ですよね

自分は命題化して分析したりしたのですがさっぱりなにも思いつかず
不等式をつかって答えの範囲をしぼって、１組ずつ見つけていくのかな？？
なんて考えたりもしたのですが、この解答には到達できませんでした

ご意見よろしくお願いします

No.3 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2013/02/02 00:27

その解法は、技巧的すぎる。

もう少しフツーに考えよう。

x≦y≦z≦w より、xyzw=x+y+z+w≦w+w+w+w だから、
xyz≦4 が言える。これを満たす自然数の組は、
(x,y,z)=(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,1,4),(1,2,2)
に限られる。もとの式へ代入すると、それぞれ
w=3+w,2w=4+w,3w=5+w,4w=6+w,4w=3+w となり、
w が自然数かつ z≦w となるのは
(x,y,z,w)=(1,1,2,2) のみ。

不定方程式を、整数条件を使って解く問題は、
未知数の範囲を不等式で絞り込むことが
有効な場合がある。これは、基本。

この回答へのお礼

こっちの解答のほうが自然でシンプルですね
初手も不等式に着目すれば思いつきますし

回答ありがとうございました！

お礼日時：2013/02/02 12:00

No.4 回答者： Subaru_Hasegawa 回答日時： 2013/02/02 09:12

どうすれば思いつくかと言われれば、中学の時に習った二次方程式の解と係数のように、

文字式において、その双方が出現するような形を出さないといけない。そう考えるしかない。
そのまま因数分解しようとしても行き詰まるのは中学生にでも分かりますから。

逆に、思いつかない解法を覚えても純粋な学力向上には繋がらない。
逆に、既存の知識を応用させられる機転を伸ばす必要がある。無理して難しい解法を
選ぶ必要性が無い。No.3の解法こそが模範解答と言えるでしょう。

No.2 回答者： takafiro974 回答日時： 2013/02/01 23:17

(おせっかい回答です）

正しくは
x=1　y=1　z=2　w=4
ですね。
（単なるタイプミスでしょう）

No.1 回答者： cozycube1 回答日時： 2013/02/01 22:20

　設問が不親切だと思いますが、

>4つの自然数x y z wについて

のところです。ここから、お示しの解法で用いられている変数変換を思いつける可能性があります。

　もし自然数を0から始まるとすれば、x＝y＝z＝w＝0は、割合思いつきやすい解です。その場合、解法に示されている、a～dも答えに含まれますし、もちろんx～zも答えに含まれますから、3組の答えとなります。

　問題が不親切と申し上げたのは、そこです。自然数は0から始めることもあれば、1から始めることもあります。この設問を解答すると想定している履修段階では、自然数が1から始まると想定してのことかもしれませんが、二つの自然数の定義があることは、設問者として想定しておくべきです。

　そういうことはありますが、設問者の意図を自然数が1から始まる定義とくみ取るならば、それを0から始まる自然数に置き換えるという『テクニック』でしょうね。

　0は乗法においては、必ず答えが0になる数で、かつ、加法（と減法）では答えが不変すから、それを試してみるということです。そういう特別な数ということですね。

　x～wが1から始まる自然数だとすると、0を使うためには1を減じた数をえばいいわけです。それが、x＝a＋1～w＝d＋1という変数変換です。

P.S.

　他に思いつきたい数は1でしょうか。乗法（及び除法）においては、答えが不変となります。

　いずれにせよ、非常に受験数学的な感じはします。小技をいっぱい持っていないと解けないという世界ですね。