
y=cosX-2sinX
という問題です。
合成すると
y=√5cos(X+α)
ここで、
だだしαはcosα=1/√5 sinα=2/√5
となっています。
計算上
cosα=2/√5が正しくないですか?・・・★
例を書くと、
cosX+sinXでも
√2cos(X + 1/√2)
つまりcosα=1/√2になってるわけで、
★と同じことをしているわけだから、
あれは間違っているのでは・・・
あとまだ解答は続くんですが、
0≦X≦π より α ≦ X+α ≦ π+α
ここまでは納得ですが、次に
-1≦cos(X + α)≦1/√5
これは円をかくと大体わかりました、
しかし次のいきなり答え。
最大値1(X = 0のとき)
最小値-√5(X = π-α のとき)
π-αっていうのもよくわからないです。
アドバイスお願いします・・
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
前半部分ですが、これは syakedana さまの誤解ではないかと思います。
合成してできた式 √5cos(x+α)の中で、αは角のことをいっているのであって、三角比の値
を直接述べてはいないと言うことです。
だから、cosx+sinx の合成した式は √2cos(x-π/4) [ただし-π<α≦πと考えたとき]というのが
正しい式になります。
次に、最大値、最小値ですが、円をかいて -1≦cos(X + α)≦1/√5 までわかっているなら
後はこの式の各辺に√5をかけて -√5≦√5cos(X + α)≦1 とすれば、最初に合成した式が
中央に出てくるから、最大値は1,最小値は-√5とわかるわけです。
さて、そのときのxの値ですが、それは√5倍する前の不等式をもう一度見てみますと、
cos(x+α)が最小になるのは-1ですから、cos(x+α)=cosπ となるとき、つまり x+α=π で x=π-α
cos(x+α)が最大になるのは1/√5ですから、cos(x+α)=cosα となるとき、つまりx+α=α で x=0
このような見方で求めているのです。
いろんな式が出てきて混乱しがちになりますが、一つ一つ明確にしていってください。
No.2
- 回答日時:
>だだしαはcosα=1/√5 sinα=2/√5
となっています
これが正しいです。
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
という公式を適用して
A=X,B=α
と置いてみてください。
cosα=1/√5 sinα=2/√5であることから
cos(X+α)=cosXcosα-sinXsinα
=cosX (1/√5) -sinX (2/√5)
つまり
√5 cos(X+α)=cosX -2sinX
となりますよ。
>√2cos(X + 1/√2)
√2cos(X +π/4)
のミスですね。
たまたま
1/√2=cos(π/4)=sin(π/4)
であるため勘違いさてていると思います。
sin(A+B)とsin(A-B)
cos(A+B)とcos(A-B)
の展開式(加法定理)を良く復習してください。
>-1≦cos(X + α)≦1/√5
これも間違いです。
-1≦cos(X + α)≦1
ですよ。
>y=cosX-2sinX
という問題です。合成するとy=√5cos(X+α)
問題が正確でないです。
y=cosX-2sinX (0≦X≦π)の最大値、最小値とその時のXを求める問題でないですか?
最大値√5を与えるXは
X+α=2nπ→X=2nπ-α
0≦X≦πから X=2π-α
最小値-√5を与えるXは
X+α=(2n+1)π→X=(2n+1)π-α
0≦X≦πから X=π-α
だだしαはcosα=1/√5、 sinα=2/√5を満たす範囲
0<α<π/2の角度。
No.1
- 回答日時:
あってると思います。
y=√5(1/√5・cosX-2/√5・sinX)となり
公式<cos(α+β)=cosα・cosβ-sinα・sinβ>より
1/√5=cosα、2/√5=sinαとなります。
また最小値はcos(X+α)=-1のときなので
X+α=180°したがってX=180°-α=π-αとなります。
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