問.
1 1 a
a1=(1) a2=(a) a3=(1)
a 、 1 、 1
とするとき、1次独立、1次従属であるときのaの値を求めよ。
という問題がありまして、先生の解答は、
解)
c1a1+c2a2+c3a3=0のとき
1 1 a
c1(1)+c2(a)+c3(1)=0
a 1 1
c1+c2+ac3 0
(c1+ac2+c3)=(0)
ac1+c2+c3 0
11a 0
(1a1)=(0)
a11 0
c1
(c2)=0となるためには
c3
11a
(1a1)=A とすると
a11
A^-1が存在しなければならない
A^-1が存在するのでAは正則 従って|A|≠0
|A|=(a+a+a)-(a^3+1+1)
=-(a-1)^2(a+2)
|A|≠0よりa≠1、-2のとき
a1、a2、a3は1次独立
a=1、-2のときa1、a2、a3は1次従属//
なのですが、何かおかしいなと思いまして(^^;)
個人的な意見としては、
11a c1 0
(1a1)(c2)=(0) -(1) より
a11 c3
c1
(c2)=B とすると
c3
(1)を満たすには c1
ⅰ)AとBが正則で(c2)=0
c3
ⅱ)Aが零因子である→|A|=0
になればよいわけで、
なのにどうして「“A^-1が存在するので”Aは正則 従って|A|≠0」と言えるのか…A^-1が存在することを示すためには|A|≠0を示す→だからAは正則という形にしなければならないと思うのですが…。あと、何故a≠1、-2のときa1、a2、a3は1次独立
a=1、-2のときa1、a2、a3は1次従属になるのかも良く分かりません。教科書と参考書を何回も見たのですがさっぱりです。無知ですみませんm(__)m基本的な質問で申し訳ありませんが答えて下さると嬉しいです。よろしくお願いします。
No.4
- 回答日時:
すいません。
わかりづらいので、(一部間違いも発見!改訂見にくいので印象で答えを書きます。
A^-1が存在するので”Aは正則 従って|A|≠0
の対偶
|A|=0 ならば、正則ではない。をいう。
これは
正則と列ベクトルは1次独立が同値なので、
|A|=0 ならば、列ベクトルは1次独立ではない
と同じこと。
これは正しい。
まとめ
正則
|A|≠0
A^-1 の存在
ランクがn(n行列の時)
列(行)ベクトルは独立
この5つは、同値
後半は勘弁してください。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
文中に
11a 0
(1a1)=(0)
a11 0
とありますが、
11a c1 0
(1a1)(c2)=(0)
a11 c3 0
ではないでしょうか?Bが正則というのも、列ベクトルに対してはここではおかしいのではないでしょうか。
これをAB=0と書くならば、
11a c1 0
(1a1)(c2)=(0)
a11 c3 0
をAB=0と書くならば、A^-1が存在すれば
A^(-1)AB=B=0
で、1次独立です。(Bが一意に0と決まるからです。)
A^-1が存在する⇔Aは正則⇔|A|≠0
(これは本に証明されていると思います)
これが成り立つには、a≠1、-2です。
では、1次独立⇒A^-1が存在する
が言えるかというと、
A^-1が存在しない⇒B=0以外のBが存在する(一次従属)
をdimAで考えてみると、Aの次元が2以下なので、Bに0で無い列があってもよい、と考えられます。これは少し考えてみて下さい。
まあ基礎が身についていれば自明だと思いますが。急ぎなので間違いはあるかもしれませんが考えて解釈して下さい。
分かりやすい説明ありがとうございます。
11a 0
(1a1)=(0)
a11 0 は先生がそう板書されていたので写しただけなのですが…やはり先生が間違っていたのでしょうかね?多分…。dimAは、次元についてはまだ良く分からない状態なのでちゃんと勉強してみます。ありがとうございました。
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