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R^4の列ベクトル(便宜上横に書きます)a1,a2.a3,a4をa1=(2,1,1,0) a2=(2,-1,-3,2) a3=(2,1,-2,3) a4=(1,1,0,1)として、部分空間W1=<a1,a2> W2=<a3,a4>とする。
W1∩W2及びW1+W2の基底と次元を求めよ。

どうもこの問題が分かりません。どなたか詳しい説明をお願いしたいのですが・・・
もし詳しく書くのが面倒ならもちろん略解でかまいません。
どうか宜しくお願いします。

A 回答 (2件)

計算してみたら、


 β=-α、γ=-2α、δ=4α
になりました。このことから、w∈W1∩W2を満たすwは
 w=α(0,2,4,-2)^T(^Tは転置を表す)
という形に限定されることがわかります。
よって、W1∩W2の基底は(0,2,4,-1)^T、次元は1です。

ということは、W1+W2の次元は3です。
 rank[a1 a2 a3]=3
なので、基底はa1,a2,a3です。
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概略だけ説明します。


まず、W1∩W2の基底を求めます。
w∈W1∩W2とすると、あるα、β、γ、δを用いて
 w=αa1+βa2=γa3+δa4
とかけます。この式から、
 [a1 a2 a3 a4]*[α β -γ -δ]^T=0(^Tは転置を表す)
です。もし、
 det[a1 a2 a3 a4]≠0
ならw=0で、W1∩W2の次元は0です。もし、
 det[a1 a2 a3 a4]=0
なら、wは自明でない解を持つので、連立方程式を解いてください。
解いてwをパラメータ表示し、パラメータを係数とするような
線形結合に書き直せば、線形結合を構成するベクトルが基底です。
パラメータの数が次元です。

W1∩W2がわかればW1+W2もすぐにわかります。
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