「y軸の正の部分に中心を持つ半径rの円が、放物線y=x^2 と原点のみを共有する(原点で接する)条件を求める、ただしr>0」という問題なのですが、円の方程式はx^2 + (y-r)^2 = r^2 とおけて、これとy=x^2 からxを消去したy^2 - (2r-1)y = 0 の式のからy=0,2r-1 と出ますよね。ここで、私は両方ともy=0になるのが、「原点で接する」条件だと思ったので、2r-1 = 0, r=1/2 が答えだと思ったのですが、答えは0<r≦1/2 となっていました。なぜこのようになるのでしょうか。よろしくお願いします。

A 回答 (6件)


>円の方程式はx^2 + (y-r)^2 = r^2 とおけて、これとy=x^2 からxを消去したy^2 -

(2r-1)y = 0 の式のからy=0,2r-1 と出ますよね。

これが円と放物線の接点のy座標になります。y軸の正の部分に中心を持つ円ですから、原点以外に接点があればそのy座標は正、すなわち、2r-1>0となります。
言い換えると2r-1>0なら、原点以外に接点(共有点)を持つことになるので、2r-1≦0 つまり、r≦1/2 が求める条件になります。
もちろん、r>0ですから 結局 0<r≦1/2 となるのです。

こんがらかして、済みませんでした。
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この回答へのお礼

hinebotさんお返事どうもありがとうございます。なるほど、そういうことだったんですね。よくわかりました。ところで、2r-1=0とした場合でも原点のみで接するという条件をみたしていると思うのですが、なぜこの場合はいけないのでしょうか。y=0の解しか持ち得ないと考えて、うっかり上のようにしてしまうのですが。

お礼日時:2001/12/21 00:16

原点のみを共有するとは、交点が原点のみということです。

接していなくてもいいです。
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この回答へのお礼

continuousさん何度もフォローしてくださってどうもありがとうございます。どうも語句の意味を取り間違えていたようです。問題文に「原点のみを共有する(原点で接する)」というカッコ書きがついてたので接していないとだめなんじゃないかと思ってしまいました。疑問が解決しました。どうもありがとうございます!!

お礼日時:2001/12/24 03:27

>Zincerさんへ


判別式云々については、continuousさんの回答通りと思います。
接点か交点かについてですが、原点を含む3点で接する場合もあると思うのですが。違うでしょうか。だから、表現としては接点でも交点でもなく、「共有点」とすべきでしょうね。

>continuousさんへ
>>つまり、共有点の候補は2つあって、(0,0)と(√(2r-1),2r-1)である、ということです。
これ正確ではありません。
「共有点の候補は3つあって、(0,0)と(√(2r-1),2r-1),(-√(2r-1),2r-1)である」ですよね。

>s-wordさんへ
>>ところで、2r-1=0とした場合でも原点のみで接するという条件をみたしていると思うのですが、なぜこの場合はいけないのでしょうか。
もちろん、2r-1=0の場合も原点のみで接する条件は満たしています。だから、答えが0<r≦1/2と、1/2側に等号がついてるでしょ、ってこれじゃ納得しないかな。結局のところ、continuousさんの#5の回答の通りなんですが。

※後から、この回答を見られた方へ
No.1とNo.2の回答も私がしたのですが、勘違いから全く間違った解説をしてしまいましたので、管理者にお願いして削除してもらいました。
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この回答へのお礼

>もちろん、2r-1=0の場合も原点のみで接する条件は満たしています。だから、答えが0<r≦1/2と、1/2側に等号がついてるでしょ、ってこれじゃ納得しないかな。結局のところ、continuousさんの#5の回答の通りなんですが。

hinebotさんお返事どうもありがとうございます。みなさまのおかげで何とか理解できました。うれしいです。「原点で接する」という表現にこだわりすぎていました。原点以外に交点がないと考えると素直に理解できました。どうもありがとうございました!!

お礼日時:2001/12/24 03:35

回答に間違いがありました。



> 2r-1≦0なら後者は候補から外れるので

と書きましたが、正確には、
 2r-1<0なら後者は候補から外れるので
です。2r-1=0の時は重解を持ち、問題の要求に合致します。
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r=1/2は、方程式y^2-(2r-1)y=0が重解をもつための条件であって、問題が要求している原点のみを共有する条件ではありません。



s-wordさんはy=0,2r-1という解を導きましたが、正確に書くと、
「点(a,b)が2曲線上にある」⇒「b=0かb=2r-1の少なくとも一方が成り立つ」
です。同値な命題を書こうとすれば、
「点(a,b)が2曲線上にある」⇔
 「(a,bは実数)かつ(b=0またはb=2r-1)かつ(b=a^2)」
です。つまり、共有点の候補は2つあって、(0,0)と(√(2r-1),2r-1)である、ということです。2r-1≦0なら後者は候補から外れるので、共有点は原点のみになり、問題の要求する条件が得られます。
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この回答へのお礼

continuousさんお返事どうもありがとうございます。図を描いてみるとかえって混乱していますのですが、問題文の「原点のみを共有する」というのは「原点で重解をもつ」ことではないのでしょうか。共有点とは「交点+接点」という意味なのでしょうか。そうでしたら、円を大きくしていくと、2次関数の横幅よりも大きくなってしまって、3個共有点を持つことになりますね。これを否定するために2r-1≦0となるんですね。でも問題文中の「原点で接する」というのは接点をもつということですよね。おぼろげながら分かったような気がしますが、用語を正確に把握していないので混乱してしまいます。問題文はどんな状態のことを言っているのでしょうか。

お礼日時:2001/12/22 07:19

hinebotさんへ


>これが円と放物線の接点のy座標になります。y軸の正の部分に中心を持つ円ですから、原点以外に接点があればそのy座標は正、すなわち、2r-1>0となります。

「x^2 + (y-r)^2 = r^2」 で示される円と「y=x^2」で示される放物線には原点以外には接点を持ち得ませんから上記の「接点」は「交点」の間違いであると思いますが?

>言い換えると2r-1>0なら、原点以外に接点(共有点)を持つことになるので、2r-1≦0 つまり、r≦1/2 が求める条件になります。

数学的にはかなり曖昧な表現ですね。
質問中に「原点のみを共有する」とありますから、要するに
「y^2 - (2r-1)y = 0」
の判別式の問題ではないでしょうか?
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y1(x),y2(x),y3(x)を求めよ。

という問題の解き方をお教え下さい。

双対基底とは
{f;fはF線形空間VからFへの線形写像}
という集合(これをV*と置く)において、
V(dimV=nとする)の一組基底を{v1,v2,…,vn}とすると
fi(vj)=δij(:クロネッカーのデルタ)で定めるV*の部分集合
{f1,f2,…,fn}はV*の基底となる。これを{v1,v2,…,vn}の双対基底と呼ぶ。

まず、
C^3の次元は6(C^3の基底は(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(i,0,0),(0,i,0),(0,0,i))
だと思うので上記のx1,x2,x3は基底として不足してると思うのです(もう3ベクトル必要?)。

うーん、どのようにしたらいいのでしょうか?

Aベストアンサー

>C^3の次元は6(

これが間違え.
「x1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底」
といってるんだから,係数体はRではなく,C.

あとは定義にしたがって,
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y1(x1)=1,y1(x2)=y1(x3)=0であって
v=ax1+bx2+cx2と表わせるわけだし,
v=(v1,v2,v3)とすれば,a,b,cはv1,v2,v3で表現できる
#単なる基底変換の問題.

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(3)半径rの円x^2+y^2=r^2と直線4x-y+17=0が異なる2点で交わるとき、rの値の範囲を求めなさい。
(4)円x^2+y^2=5と直線y=3x+mが接するとき、定数mの値の範囲を求めなさい。
(5)半径rの円x^2+y^2=r^2と直線x-3y-10=0が共有点を持たないとき、rの値の範囲を求めなさい。

解き方含め教えてください!!
お願いします。

Aベストアンサー

(1)
共有点を持つ、つまり実数解をもつということです。
実数解をもつということは、判別式DがD≧0となればよいのは分かりますね?
さて、何と何が実数解をもつかというと、x^2+y^2=r^2と3x+y+10=0ですね。
3x+y+10=0をy=-3x-10と変形して、これをx^2+y^2=r^2に代入して、xの2次方程式にしてD≧0を計算すればいいわけです。

(2)
同様に考えましょう。
y=x+mをx^2+y^2=18に代入してxの2次方程式にして、D≧0を計算すればmの値の範囲が分かるはずです。

(3)
異なる2点で交わる。つまり重解を持たずに実数解をもつ場合です。このとき判別式DはD>0となります。
他の考え方は一緒です。
4x-y+17=0を変形してx^2+y^2=r^2に代入し、その2次方程式の判別式DをD>0として計算するだけです。

(4)
接するとき、つまり重解をもつ時です。この時判別式DはD=0となります。

(5)
共有点を持たないときは、実数解をもたないときになります。
D<0ということです。


長くなりましたが、判別式の使い方さえ把握していれば全部同じ考え方で解ける基本問題ですね。

(1)
共有点を持つ、つまり実数解をもつということです。
実数解をもつということは、判別式DがD≧0となればよいのは分かりますね?
さて、何と何が実数解をもつかというと、x^2+y^2=r^2と3x+y+10=0ですね。
3x+y+10=0をy=-3x-10と変形して、これをx^2+y^2=r^2に代入して、xの2次方程式にしてD≧0を計算すればいいわけです。

(2)
同様に考えましょう。
y=x+mをx^2+y^2=18に代入してxの2次方程式にして、D≧0を計算すればmの値の範囲が分かるはずです。

(3)
異なる2点で交わる。つまり重解を持たずに実数解をもつ...続きを読む


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