はじめまして。
ちょっと困っているので助けてください。

屈折率は入射光の波長に依存しますよね?
一般的な傾向として、波長が長くなると
屈折率は小さくなりますよね?
それで、このことを式で説明しようとしたんですが、

屈折率は真空の光速と媒質中の光速の比なので、
n=c/v
媒質中の光の速度、位相速度は
v=fλ
で、周波数と波長に依存します。

ところが!波長と周波数は逆数の関係なので、
この二つの式を使ってしまうと
屈折率が波長に依存しないことになってしまうのです・・・。
どうかこのあたりの説明をおしえてくださいませんか。
よろしくお願いいたします。

A 回答 (3件)

ekisyouさん、改めまして初めまして。


ご指摘のようにfとνは全く同じものです。同じ物理量に異なる文字を使ってしまったのは私のミスです、申し訳ありませんでした。また「振動数」「周波数」の二つの言い方を用いましたがこれもどちらでも同じことです。ekisyouさんのこれまでのお考えで正しいです。

前回の回答をもう一度正しく書くと
--------
n=c/v
が屈折率の定義そのものである。真空中の光速cは不変であるからnが波長(または周波数)依存性を持つとしたら媒質中の光速vが周波数依存性を持つことになる。従ってこの式は周波数をfとして
n=c/v(f)
と表すべきものである。
二番目の式
v(f)=fλ
で、vに周波数依存性があることを考えるとfとλは厳密な反比例な関係でない。
--------
となります。大変失礼を致しました。

なお上記の式だけからでは「赤い光の方が紫の光より屈折率が小さくなる理由」は絶対に出てきません。
その理由を説明するためにはどうしても電場中での媒質の分極を考える必要があります。屈折の原因は既にご承知とのことですので、あとはその部分の理解を深めて頂くのみです。
(1)光が媒質中を通過する場合、周囲の媒質を分極させながら進む。
(2)可視光線の範囲であれば、周波数が高くなるほど分極の影響により光は進みにくくなる。
(3)(2)により光の速度が落ちる、ということは即ち屈折率が上がる、ということである。

(2)ですが、共振現象とのアナロジーで考えれば分かりやすいと思います。いまある物体を天井からひもで釣るし、それにさらに紐を付けて手で揺らすこととします。(A)ごくゆっくり揺らす場合は手にはほとんど力はかけなくて済みます。(B )ところが揺らす周期を短くするとだんだんと力が要るようになります。(C)さらに周期を短くして共振周波数に達すると急に力は要らなくなります。(D)そしてさらに揺らす周期を短くしようとすると、あたかもその錘に引張られるような感覚を受けます。(E)そしてさらにずっと周期を短くすると、錘はまったく動かずに錘と手を結んでいる紐だけが振動するようになります。
可視光線はちょうどこの中で(B)の領域になります。すなわち周波数を高くすると、それにつれて周囲の分極があたかも「粘り着く」ようになり、そのために媒質中の光の速度が落ちるのです。(もっとも、「粘り着く」なんて学問的な表現じゃないですね。レポートや論文でこんな表現をしたら怒られそう・・・)

こんな説明でよろしいでしょうか。

参考となりそうなページ:

「光の分散と光学定数の測定」
http://exciton.phys.s.u-tokyo.ac.jp/hikari/secti …
同、講義ノート(pdfでダウンロード)
http://exciton.phys.s.u-tokyo.ac.jp/kouginote/op …

"Kiki's Science Message Board" この中の質問[270]
http://www.hyper-net.ne.jp/bbs/mbspro/pt.cgi?roo …

過去の議論例(既にご覧になっているかと思いますが)
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=140630
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この回答へのお礼

Umadaさま、ご丁寧な説明、ほんとにありがとうございます。
仕事の関係で、この問題を解決しなければならないのですが、
正直、どの理論から手をつけていいかわからず、
途方に暮れてました。

Umadaさんが回答で解明するための手法の方向性を
示してくださったので、あとはまじめに勉強するのみです!がんばります。
でも、大学のときにまじめにやっておけばよかった・・。(泣)

ほんとにありがとうございました。
それでは。

お礼日時:2002/02/03 21:09

まず、波長が長くなると屈折率が小さくなると言う傾向は、何にでも当てはまるものではありません。

可視光領域でみればガラス、プラスチックなどが該当しますが、全部ではありません。(逆の場合もあります)
ガラスなどの物質でこの傾向が見られる最大の理由は、紫外~真空紫外の領域に大きな共鳴周波数(吸収が最大となる所)があるためです。

ご質問の式を導出するには、この物質による光の吸収の式を立てて、その上で、その共鳴周波数を紫外にして上げると、答えが求まります。
物質の屈折率nは、
n^2=1+χ
で表されます。ここで、χは電気感受率とよばれます。
この電気感受率χの意味は、光に対する物質(原子、分子など)の応答を表し、一般に光の周波数(波長)の関数となります。
( n=c/v から求めるのではなく、 nが求まり逆にvが求まるわけです。)

物質に光電場Eが来たときの分極Pは、
P = χE
と表される所から来ています。(さらにこのPは電磁波を記述する大本の式であるMaxwell 方程式で使います)

つまり、Maxwell方程式->分極P->感受率->屈折率->光の速度vという流れです。

もっとも簡易的な導出方法は、一次元の調和振動子の強制振動の運動方程式を立てて解く方法(古典的取り扱い)が簡単と思われます。
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この回答へのお礼

mickjey2さま、はじめまして。
回答ありがとうございます。
たしか、他の質問にも回答されてた方ですよね。
何度も同じような質問に答えていただいて、恐縮です。

Maxwell方程式からの流れは、誘電体の本なんかに載ってますよね。
勉強しなおして、がんばってみます。
ありがとうございました。

お礼日時:2002/02/03 21:17

最初の式


n=c/v
は屈折率の定義そのものですよね。ここに真空中の光速cは不変ですから、nが波長(または振動数)依存性を持つとしたら媒質中の光速vが振動数依存性を持つことになります。従ってこの式は振動数をνとして
n=c/v(ν)
と書くべきところです。
さて二番目の式
v(ν)=fλ
ですが、vに振動数依存性があることを考えるとfとλは厳密な反比例な関係でなく、νに依存してその積が若干変化することになります。
ekisyouさんのご質問の中で「ところが!波長と周波数は逆数の関係なので」という部分が誤り、ということになります。
この部分を直して式を逆に辿れば、屈折率の波長/周波数依存性はあってもおかしくないことがお分かりいただけると思います。

この回答への補足

Umadaさま、回答ありがとうございます。

できればもう少し教えていただきたいんですけど、
「振動数」と「周波数」は同じなんでしょうか??
私は同じだと思っていたんですけど、なんか混乱してきました。

屈折率に波長依存性があるのはおかしくないと思うんですが、
私が提示した式で、
「入射光が赤い光のときの方が、紫の光のときより
屈折率が小さくなるのはなぜか?」というのは
説明できるのでしょうか。
以前このページで、同じような質問があったんですけど、
その時の回答者の方々の説明が、共鳴とか電場で振動とかの原理で
説明されていたので、よくわからなかったのです。
(屈折率の原理がそのへんにあるのは知っているのですが。)

ということで、よろしかったら、
もう少し説明の方、お願いいたします。お手数かけます。

補足日時:2002/02/02 15:03
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   = hc/eλ[eV]
となります。
波長が nm 単位なら E = hc×10^9/eλ です。
あとは、
 h = 6.626*10^-34[J・s]
 e = 1.602*10^-19[C]
 c = 2.998*10^8[m/s]
などの値より、
 E≒1240/λ[eV]
となります。

>例えば540nmでは2.33eVになると論文には書いてあるのですが
>合っているのでしょうか?
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 E = 1240/540 = 2.30[eV]
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よろしくお願いします。

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★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは?
 2.43×1/(10の19乗)で、
 2.43×1/10000000000000000000となり、
 2.43×0.0000000000000000001だから、
 0.000000000000000000243という数値を意味します。

補足:
・E+数値は 10、100、1000 という大きい数を表します。
・E-数値は 0.1、0.01、0.001 という小さい数を表します。
・数学では『2.43×10』の次に、小さい数字で上に『19』と表示します。→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98
・最後に『回帰分析』とは何?下の『参考URL』をどうぞ。→『数学』カテゴリで質問してみては?

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるた...続きを読む

Q誘電率の周波数依存性

物質の誘電率がある特定周波数と共振して急激に増加する
という現象はありますか?
また、それに関する情報を教えていただけたら幸いです!

Aベストアンサー

あります。

http://hr-inoue.net/zscience/topics/dielectric1/dielectric1.html

Q光の速度は不変なのに物質中ではなぜ変わるのですか

光の速度は観測系に関係無く一定だと良く書いてあります。しかし物質中では(例えば水中)遅くなります。こんなに絶対的な光速度が物質中では簡単に速度が変わる理由が解りません。方程式で波長が短くなるからという説明ではどうもピタッときません。一つ一つの粒子にぶつかりながらも一部は元の速度で物質内を駆け抜けると思うのですが・・・
物質に分極のエネルギーを配達している間に時間がかかるというのも
平均的なエネルギーの移動はそのとうりかも知れませんが、薄まっても前に走る光のエネルギーがあってもおかしくないと思って悩んでいます。ご回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

物質の中を通って出てくる光は、もとの光そのものでは
ありません。光子が物質と相互作用して、吸収されたり
新たな光子が放出されたりしながら出てくるのです。
物質中でも、光子が移動している速度は変化していま
せん。
 ただし、これら過程によって、光の位相は変化しま
す。

「物質中で光が遅くなる」というのは、こういった微視
的な現象を無視して、物質に入る光、そこから出てくる光
の位相を比較してみたときに、物質中での光の速度が遅く
なると考えて計算した位相の変化と同じになるということ
です。つまり、見かけ上光が遅くなったに過ぎません。


 ということで、特殊相対論の光速度不変の原理と、
幾何光学(高校の物理で習う範囲の光学)における
物質中の光速度の変化は矛盾していません。

ファインマン物理学に詳しい説明がかかれていますので、
興味があるなら読んでみてください。

Q光の波長による屈折率の違いについて

初歩的な質問ですみません。
レンズの色収差などでよく耳にしますが
質問は何故、波長によって屈折率の違いが起きるのかということです。
例えばレンズに光が入った時、青色の波長の光と赤色の波長の光とでは
青色の方が屈折率が大きいですよね。
それを証明する方法を教えていただければと思いまして

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

補足読みました。
そうですね。siegmundさんも詳しく書かれていますので、単純にしたわかりやすい例で説明してみましょうか。

50円玉と糸を用意して下さい。
その50円玉に糸を結んで振り子をつくります。(長さは適当に試して下さい)
糸の端をもって左右に振ります。このとき振る巾はせいぜい3~4cm位がいいでしょう。
初めはゆっくりと、そしてだんだん早く動かしていくと、自分の手の振りよりだんだん50円玉の方が振りが大きくなることがわかります。
手の振る巾は変わらないのに一番振りが大きくなるところが共鳴している周波数です。
そして、更に早く動かすと今度はまた振りが小さくなります。

このとき注目して欲しいのは手の動きと50円玉の動きの関係です。共鳴するスピードからずれてくると、動きも一致しなくなります。
(うまく動かすと手の動きと正反対になります)
これが、位相がずれてくると言うことであり、物質内の分極と外からの電場の位相も同じことで一致しなくなるわけです。
ここで、手の動きは外からの電場の振動(要するに光の振動数=色)であり、50円玉は物質内の分極でありこれもまた光となって出ていきます。

この位相のずれの量を屈折率という数字で表していると考えられるとわかりやすいかと思います。
共鳴周波数からずれた振動数で振動させると位相がずれるという現象は、物理ではかなり基本的なもので、光に関わらず電気回路でもその他の現象でも沢山見られる基本的な現象なんですね。
また、共鳴周波数からある程度まではこの位相がずれた光と元の光が混ざり合って全体として位相がずれますが、更に遠くなると(振り子を手でものすごい速度で振動させると50円玉が振動しないのと同じです)今度は振動しなくなるので、位相のずれもなくなる(屈折率が1に近づく)わけです。

ガラスの場合はそのほとんどが紫外光の領域に共鳴周波数があるので、ご質問のような赤より青の方が屈折率が大きいということになったわけです。

では。

補足読みました。
そうですね。siegmundさんも詳しく書かれていますので、単純にしたわかりやすい例で説明してみましょうか。

50円玉と糸を用意して下さい。
その50円玉に糸を結んで振り子をつくります。(長さは適当に試して下さい)
糸の端をもって左右に振ります。このとき振る巾はせいぜい3~4cm位がいいでしょう。
初めはゆっくりと、そしてだんだん早く動かしていくと、自分の手の振りよりだんだん50円玉の方が振りが大きくなることがわかります。
手の振る巾は変わらないのに一番振りが...続きを読む

Qミラー指数:面間隔bを求める公式について

隣接する2つの原子面の面間隔dは、ミラー指数hklと格子定数の関数である。立方晶の対称性をもつ結晶では

d=a/√(h^2 + k^2 + l^2) ・・・(1)

となる。

質問:「(1)式を証明せよ」と言われたのですが、どうすれば言いかわかりません。やり方を教えてもらえませんか_| ̄|○

Aベストアンサー

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベクトルと全く同じになります。すなわち立方晶の(111)面の法線ベクトルは(1,1,1)ですし、(100)面の法線ベクトルは(1,0,0)です。法線ベクトルなら「ミラー指数」よりずっと親しみがあり解けそうな気分になると思います。

さて(hkl)面に相当する平面の方程式を一つ考えてみましょう。一番簡単なものとして
hx + ky + lz=0  (1)
があります。(0,0,0)を通る平面で法線ベクトルは(h,k,l)です。
これに平行な、隣の平面の式はどうでしょうか。
hx + ky + lz = a  (2a)
hx + ky + lz = -a  (2b)
のいずれかです。これがすぐ隣の平面である理由(そのまた間に他の平面が存在しない理由)は脚注*2に補足しておきました。
点と直線の距離の公式を使えば、題意の面間隔dは原点(0,0,0)と平面(2a)の間隔としてすぐに
d=a/√(h^2+k^2+l^2)  (3)
と求められます。

点と直線の距離の公式を使わなくとも、次のようにすれば求められます。
原点Oから法線ベクトル(h,k,l)の方向に進み、平面(2a)とぶつかった点をA(p,q,r)とします。
OAは法線ベクトルに平行ですから、新たなパラメータtを用いて
p=ht, q=kt, r=lt  (4)
の関係があります。
Aは平面(2a)上の点でもありますから、(4)を(2a)に代入すると
t(h^2+k^2+l^2)=a
t=a/(h^2+k^2+l^2)  (5)
を得ます。
ここにOAの長さは√(p^2+q^2+r^2)=|t|√(h^2+k^2+l^2)なので、これを(5)に代入して
|a|/√(h^2+k^2+l^2)  (6)
を得ます。OAの長さは面間隔dにほかならないので、(3)式が得られたことになります。

bokoboko777さん、これでいかがでしょうか。

*1 (h, k, l)の組が共通因数を持つ場合には、共通因数で割り互いに素になるようにします。例えば(111)面とは言いますが(222)面なる表現は使いません。
*2 左辺はhx+ky+lzでよいとして、なぜ右辺がaまたは-aと決まるのか(0.37aや5aにならないのは何故か)は以下のように説明されます。
平面をhx+ky+lz = C (Cはある定数)と置きます。この平面は少なくとも一つの格子点を通過する必要があります。その点を(x0,y0,z0)とします。
h,k,lはミラー指数の定義から整数です。またx0,y0,z0はいずれもaの整数倍である必要があります(∵格子点だから)。すると右辺のCも少なくともaの整数倍でなければなりません。
次に右辺の最小値ですが、最小の正整数は1ですから平面hx + ky + lz = aが格子点を通るかどうかを調べ、これが通るなら隣の平面はhx + ky + lz = aであると言えます。このことは次の命題と等価です。
<命題>p,qが互いに素な整数である場合、pm+qn=1を満たす整数の組(m,n)が少なくとも一つ存在する
<証明>p,qは正かつp>qと仮定して一般性を失わない。
p, 2p, 3p,...,(q-1)pをqで順に割った際の余りを考えてみる。
pをqで割った際の余りをr[1](整数)とする。同様に2pで割った際の余りをr[2]・・・とする。
これらの余りの集合{r[n]}(1≦n≦(q-1))からは、どの二つを選んで差をとってもそれはqの倍数とは成り得ない(もし倍数となるのならpとqが互いに素である条件に反する)。よって{r[n]}の要素はすべて異なる数である。ところで{r[n]}は互いに異なる(q-1)個の要素から成りかつ要素は(q-1)以下の正整数という条件があるので、その中に必ず1が含まれる。よって命題は成り立つ。

これから隣の平面はhx + ky + lz = aであると証明できます。ただここまで詳しく説明する必要はないでしょう。証明抜きで単に「隣の平面はhx + ky + lz = aである」と書くだけでよいと思います。

参考ページ:
ミラー指数を図なしで説明してしまいましたが、図が必要でしたら例えば
http://133.1.207.21/education/materdesign/
をどうぞ。「講義資料」から「テキスト 第3章」をダウンロードして読んでみてください。(pdfファイルです)

参考URL:http://133.1.207.21/education/materdesign/

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
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