χ+π
 lim χ tan――――=??
x→0      2

χ:エックス

とあり、答えもわかりません。
解き方もしくはヒントを教えてくれないでしょうか?

(その1)(その3) もお願いします。

A 回答 (1件)

 


  tan(x/2+π/2)= -cot(x/2) です。tan=sin/cos ですから、+π/2 で確認してください。
 
  x/2=y とします。すると式は
 
  2y{-cot y}= -2y・cos y/sin y です。
 
  lim x→0 y/siny =1 です。
  ですから、この式は
  lim x→0 -2cos y となりますが、これは y→0 で cos y→1 で、-2となります。
 
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この回答へのお礼

tan(x/2+π/2)= -cot(x/2) は公式ですか!?
なんとか解けました。
ありがとうございました。

お礼日時:2002/02/06 22:06

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Aベストアンサー

簡単のためにα→aとしておきます。

「-->」の後に以下のように入力し[Shift]+[Enter]をしてみて下さい。
(単にコピーandペーストして入力し、[Shift]+[Enter]をすればよいです。

t1:trigexpand(tan(4*a));
t2:ev(t1,tan(a)=1/5);
t3:trigexpand(tan(4*a-%pi/4));
ev(t3,tan(4*a)=t2);

Qtan 20 tan 30 tan 40 = tan 10

tan 20 tan 30 tan 40 = tan 10
単位は「度」です。

なるべく簡単な、図形的な考察に基づいた、背景が理解できる証明を教えていただきたいです。

Aベストアンサー

>tan 20 tan 30 tan 40 = tan 10

説明の鍵は、tan^2(30度)=1/3 にあります。

(1) 三倍角公式
  tan(3a)=tan(a)*{3-tan^2(a)}/{1-3*tan^2(a)}
(2) 加法公式
  tan(30度±a)={1-3*tan^2(a)}/{3-tan^2(a)}
この二つから、
  tan(30度-a)*tan(3a)*tan(30度+a)=tan(a)
が成立する。

「簡単な、図形的な考察に基づいた、背景が理解できる証明」は手に負えません。
口上だけ。
おあとがよろしいようで。

Qlim[n→∞]∫[0,π/2]{sin^2(nx)}/(1+x)=(1/2)log(π/2 + 1)

lim[n→∞]∫[0,π/2]{sin^2(nx)}/(1+x)=(1/2)log(π/2 + 1)

ということなのですが、区分求積法を使おうとしたのですが、よくわかりません。
複雑ですが、解けた方は教えていただけないでしょうか。

Aベストアンサー

ANo.1様が既に回答を出されているようなので、無意味かも知れませんが・・・、
lim(n→∞)∫[0,π/2]{sin^2(nx)}/(1+x)・・・(1)
(1)においてsin^2(nx)=1/2・(1-cos(2nx))と変形出来る。(・はかけ算の意味)
よって
与式=lim(n→∞)∫[0,π/2](1-cos(2nx))/2(1+x)dx
=lim[n→∞]∫[0,π/2]1/2(1+x)dx - lim[n→∞]∫[0,π/2]cos(2nx))/2(1+x)dx
={1/2・log(1+x)}[0,π/2]-lim(n→∞)∫[0,π/2]cos(2nx))/2(1+x)dx

第一項目の積分は=1/2・log(1+π/2)
第二項目の積分において、f(x)=1/(1+x)は(0~π/2)で積分可能である。従って、そのフーリエ係数はn→∞のとき0に収束する。
(リーマン-ルベグの定理を用いた。)よって第二項目の積分は0となる。

よって、lim(n→∞)∫[0,π/2]{sin^2(nx)}/(1+x)=1/2・log(1+π/2)
となる。

ANo.1様が既に回答を出されているようなので、無意味かも知れませんが・・・、
lim(n→∞)∫[0,π/2]{sin^2(nx)}/(1+x)・・・(1)
(1)においてsin^2(nx)=1/2・(1-cos(2nx))と変形出来る。(・はかけ算の意味)
よって
与式=lim(n→∞)∫[0,π/2](1-cos(2nx))/2(1+x)dx
=lim[n→∞]∫[0,π/2]1/2(1+x)dx - lim[n→∞]∫[0,π/2]cos(2nx))/2(1+x)dx
={1/2・log(1+x)}[0,π/2]-lim(n→∞)∫[0,π/2]cos(2nx))/2(1+x)dx

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