sin,cosの簡単な計算

簡単な計算問題で、答えを見れば一応理解できるのですが、なぜこのような解法が閃くのかが分からないので教えてください。

(1)cos(90-θ)+cosθ+cos(90+θ)+cos(180-θ)
=sinθ+cosθ-sinθ-cosθ
=0
(2)sin75+sin120-cos150+cos165
=cos(90-75)+sin(180-120)-{-cos(180-150)}+{-cos(180-165)}
=cos15*sin60+cos30+-cos15
=√3

(1)はcos(90-θ)＝sinθをとりあえず置き換えて、これ±0になりそうだな、と思って感でやったらできましたが、(2)はさすがに感ではできませんでした。この問題のどこに着目して皆さんは変形するのでしょうか。

また、このような問題は私立・国立ともに出題されますか。

No.3 ベストアンサー 回答者： sanori 回答日時： 2006/04/30 11:07

この問題は、実は、

実用的には、何にも意味がありません。
ただの計算遊びです。

だから、この手の問題を沢山解いたり、反復・練習したところで、得るものは、はっきり言ってありません。


では、
出題者は、解答者の、どういう知識・能力を試そうとしているか分かりますか？

・・・って言っても、
三角関数を習って、そんなに経っていない高校生さんなのですから、そこまで深読みできないですよね。（笑）


この問題の出題者は、sin と cos という２つの関数の基本的な性質を知っているかを試しています。

それは何かと言えば、

１つ目：

あなたが知っている、cos(90-θ)＝sinθ　です。

２つ目：
「sinθ や cosθ の θ が、いかなる値であっても、
　必ず、
　０度≦θ≦９０度
　の範囲の sinθ、cosθ で表せる」

です。

その方針でいけば、（２）も、ちょちょいのちょいですよ。（笑）

そうすれば、
質問文にかかれている、（２）の解答そっくりそのままになります。
ご自分で検証してみてください。
全部、

０度≦θ≦９０度

の範囲に統一されていますよね？


おそらく、
この問題は、有名大学の理工系学部の筆記試験では、出題されないと思います。


三角関数というのは、実用範囲の非常に広い、便利な関数です。
（・・・というか、高校までの数学において、クイズみたいな図形の問題、すなわち、辺の長さや角度を求めるような問題は、役に立ちませんが、それ以外の高校数学は全部、有用性が高いです。）

しかしながら、
この問題のように、計算結果が単純になるような、都合の良い局面というのは、（理工系に就職すると分かりますが）、まず、有りません。
大概、非常に中途半端な角度や値になります。
だから、大学の理工系の定期試験では、大概、関数電卓の使用が認められています。


というわけで、
このような問題は、
三角関数の基本性質をちゃんと理解しているか
ということを問う、「復習問題」だと思ってください。

No.2 回答者： freedom560 回答日時： 2006/04/30 10:49

(2)ですが、sin,cosの値で計算問題に使われるのは

sin0°=0,cos0°=1
sin30°=1/2,cos30°=√3/2
sin45°=1/√2,cos45°=1/√2
sin60°=√3/2,cos60°=1/2
sin90°=1,cos90°=0
sin120°=√3/2,cos120°=-1/2
sin135°=1/√2,cos135°=-1/√2
sin150°=1/2,cos150°=-√3/2
sin180°=0,cos180°=-1
sin210°=-1/2,cos210°=-√3/2
sin225°=-1/√2,cos225°=-1/√2
sin240°=-√3/2,cos240°=-1/2
sin270°=-1,cos270°=0
sin300°=-√3/2,cos300°=1/2
sin315°=-1/√2,cos315°=1/√2
sin330°=-1/2,cos330°=√3/2
sin360°=0,cos360°=1

という、値が既知のものであるものです。つまり、θが３０°または４５°の倍数が基本になります。上の値は直接覚えようとすると結構無理がありますが、（実際自分も丸暗記はしていません）単位円を書いてx軸からの角度をθと取ったときにxの値がcosθ、yの値がsinθになることと、0,1以外で使うのは1/2、1/√2、√3/2の３つだと覚えておけばすぐに好きなものが取り出せるでしょう。


あとは、三角関数の有名な公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

さえ知っていれば、結構いろいろな値が計算できます。たとえば

75°=30°+45°と考えれば

sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=(1+√3)/2√2
cos75°=cos(30°+45°)=cos30°cos45°-sin30°sin45°=(√3-1)/2√2

という値もあっさりでてきます。
15°も45°-30°なんで計算できますね。

つまり、このようなsin、cosの問題は３０°または４５°の倍数の成分が入っていないか考えることがまず一番初めに考えることです。下１桁が５だったら４５°の倍数の成分が入っていることが確定なので、４５°を足すなり引くなりして４５°の成分をまず消しましょう。で、残りが３０°の倍数か、４５°の倍数か、はたまたそれらの線形結合かは問題によりますが。

つまり、この２つのことさえ知っていれば(2)の計算問題の回答方針はすぐに出てきます。もちろん上の用にcos15°を使ってエレガントに解けることを数学が得意な人にとっては目標とした方がよいでしょう。しかし、そうでない人はsin75°の値をいったん計算してみて泥臭く解いても全く問題ないと思います。（実際上の問題のようにcos15°とcos15°が打ち消しあうパターンの方がまれだと思いますし）


＞また、このような問題は私立・国立ともに出題されますか。
まず、レベルが高い大学では出ないでしょうね。センター試験では出てもいいかなと思わないでもありません。ただし、上記の三角関数の公式さえ知っていれば解ける問題なので、もし入試で出たときには確実に９０％以上の人が正解してくる問題でしょうね。

No.1 回答者： KENZOU 回答日時： 2006/04/30 08:07

＞この問題のどこに着目して皆さんは変形するのでしょうか

まぁ，ぱっと見て
sin75=sin(90-15)
sin120=sin(90+30)
cos150=cos(180-30)
cos165=cos(180-15)
と常に90と180を基点に変形することを思いつきますが．．．というのは
sin90=1，sin180=0, cos90=0, cos180=-1ときれいな数字になりますから．,また15は30÷2で倍角の公式が使えますね．与式の場合，そこまでしなくてもうまく消しあってくれるようですが．．．
いずれにしても練習を積めば反射的に思いつくようになると思います．