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一次元自由粒子が・・・

長さLの領域に閉じ込められている場合、波動関数をφとして境界条件φ(0)=φ(L)=0を元にシュレディンガー方程式を解くと

φ(x)=(2/L)^2sin(kx)、k=πn/L(n=1,2,)


長さLの輪を自由粒子が運動している場合、周期的境界条件φ(x)=φ(x+L)を元に

φ(x)=(1/L)^2exp(ikx) 、k=2π/L(n=0,±1,±2,) 


なのですが、なぜ境界条件のとき波束kは自然数で、周期的境界条件のとき波束は全ての整数になるのですか???

A 回答 (2件)

考え方は単純で、



複素指数関数e^(iθ)、すなわち、複素数
cosθ+isinθ
は、2次元ベクトルと同じだからです。
反時計回りと時計回りとで、
cosθ+isinθ

cosθ-isinθ
という、必ず2つのペアがあります。


しかしながら、
n=0というのは、粒子がある場所から、正確に中心に向かう方向に輪っかを手で揺すっているから、粒子が止まってるようなイメージなんでしょうけど、

それだったら、棒の場合も、棒の長さ方向と垂直に揺すれば止まりますよね。
輪っかと平等に考えるなら、n=0 も・・・?
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sinkx=(e^ikx-e^-ikx)/2iと書き換えられます。



一方、量子力学では、波動関数を定数倍したものは
もとの波動関数と代わらないという性質があります。
(波動関数は線形性を持つといったりします)

で、仮に固定端境界条件の場合に『n=-m(m>0』という負の
整数が解になるとしてみましょう。
このときk=-πm/L≡-k'(k'=πm/L
ですが、sinkx=(e^ikx-e^-ikx)/2i
=(e^-ik'x-e^ik'x)/2i=-(e^ik'x-e^-ik'x)/2i
=-sink'xとなります
というか、sin(-kx)=-sinkxを使ってもいいですが
とにかく負の整数n=-mを解として採用したとしても
それに対応する波動関数は、n=mという自然数
の場合の波動関数、に単にマイナスをかけたものに
等しくなるから、状態は同じになります。だから固定端(sinkx)条件では、自然数だけでよいことになります。負の整数も採用すると、解を2回カウントすることになります。
周期境界条件では、Ce^ikxという波動関数が解
ですが、この場合負の整数を採用すると、状態は
正のときと異なります。つまり、e^ikxとe^-ikxの
状態は異なります。古典的な描象では、粒子の進行方向が右向きか左向きか、で区別していることになります。
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この回答へのお礼

分かりやすい回答ありがとうございます。
参考になりました!

お礼日時:2006/05/11 01:52

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