∫1/√(x-a)・(x-b)dxの広義積分が収束することを示し、値を求めよ。ただし、積分区間はa~bとする。
この問題ですが、どうすればいいのかわかりません。展開の仕方からよかったら教えてください。

A 回答 (5件)

Siegmundさんが、


「a~b では (x-a)(x-b) < 0 ですから.ちょっと注意しないといけません.
1/√{(x-a)(x-b)} = -i/√{(x-a)(b-x)}
として,あとは ・・・」
と指摘されているとおりです。
私の計算はそれを見落としていて、π になりました。
-i 倍 の答えになるはずだから、 答えは -iπ でしょう。
私が最初に間違った答えを書いたので、お困りかと思い、追記しました。
それから、もっと詳しい解答をお望みですか?
私個人はkony0さんのもっと詳しい解説が読みたいですし、
ikecchiさん自身の答案も見たいです。
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まったくの蛇足です。

(^^;)
積分を行うだけなら、ベータ関数に持っていくという手もあります。
つまり、x:a→bのとき、y:0→1となるような線形写像y=(x-a)/(b-a)を考えると、
(x-a)(x-b) = (b-a)^2 * y(y-1), dx = (b-a) dy となるので、
あとは#3のsiegmundさんのおっしゃるとおり、√の中が負になることに注意して、
(与式)=∫1/{i(b-a)√y(1-y)} (b-a)dy = -i ∫y^(-1/2) (1-y)^(-1/2) dy
= -i * B(1/2,1/2) = -i * Γ(1/2)*Γ(1/2)/Γ(1) = -i * (√π)^2 / 1 = -iπ(答)
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a~b では (x-a)(x-b) < 0 ですから.ちょっと注意しないといけません.


1/√{(x-a)(x-b)} = -i/√{(x-a)(b-x)}
として,あとは
(1)  x = a cos^2θ + b sin^2θ
とおけばいいでしょう.
こうおくと
(2)  √{(x-a)(b-x)} = (1/2)(b-a) sin 2θ
(3)  dx/dθ= (b-a) sin 2θ
ですから,もうできたも同然です.
答は -iπ のようです.
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∫1/√(x-a)・(x-b)dx=∫1/√(展開して完全平方式にする)dx


=log(x-(a+b)/2+√xの2乗+A)なので
ただしAは定数部分です。

∫1/√xの2乗+Adx=log絶対値(x+√xの2乗+A)を利用しました。
これを範囲をa+1/n~bのときとa~b-1/nのときに分けてそれぞれnを無限大に
したときの極限値が一致することを示せば出来ますよ。
分かりましたか?
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私の計算では、答えは π になりました。

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Q 積分の問題です。y=x^2ー3xとy=-2x+2に囲まれた面積を求め

 積分の問題です。y=x^2ー3xとy=-2x+2に囲まれた面積を求めよ。です
-∫(-1~2)(x^2-x-2)dx=-[x^3/3-x^2/2ー2x](-1~2)で間違いないですね。
とすると
-{(8/3-2-4)-(-1/3-1/2+4)}となって答えが回答になる9/2にならないのですがどこが間違っているのでしょうか?よろしくお願いします。

Aベストアンサー

#1です。
-{(8/3-2-4)-(-1/3-1/2+2)}
=-(8/3-2-4+1/3+1/2-2)
=-(9/3-8+1/2)
=-(3-8+1/2)
=-(-5+1/2)
=-(-9/2)
=9/2

計算違い。

Q∫(a,b)αf(x)dx=α∫(a,b)f(x)dxという定積分の性質の証明について

aからbまでのf(x)の定積分を∫(a,b)f(x)dxと表します。

不足和・過剰和から始まって定積分を定義した後の、「f(x)が区間[a,b]でリーマン積分可能で、αが定数ならば、∫(a,b)αf(x)dx=α∫(a,b)f(x)dx」という定積分の性質の証明についてですが、大学初年級の理工学部向けの教科書・参考書ではこの定理の証明はたいてい「容易なので省略する」となっており、私が見た中で唯一証明してあるのは「微分積分学1」(三村征雄、岩波全書)です。

この本(235ページ)によると、α≧0、α≦0の二つの場合に分けています。α≧0の場合は容易ですが、α≦0のときにはsup(-f(x))=-inff(x)であることを示してからひとつの補題を証明し、その後に上の証明に取り掛かっています。これによると、この定理は、どうも「容易なので省略する」とはいえないような気がします。

そこでお尋ねですが、
1 αの場合分けをしないなどして、定積分の定義から容易に、それこそ2,3行ぐらいで証明する手法はありますか?
(ただし、f(x)が連続関数であるときの定理∫(a,b)f(x)dx=F(b)-F(a)(F(x)はf(x)の原始関数)というルートは使わないものとします。)

2 もし、容易でないにもかかわらず証明を省略する場合は紙数の都合によるのでしょうか?

3 初学者には容易ではないのに、著者がそう判断してしまっているということはありえますか?

以上、よろしくお願いいたします。

aからbまでのf(x)の定積分を∫(a,b)f(x)dxと表します。

不足和・過剰和から始まって定積分を定義した後の、「f(x)が区間[a,b]でリーマン積分可能で、αが定数ならば、∫(a,b)αf(x)dx=α∫(a,b)f(x)dx」という定積分の性質の証明についてですが、大学初年級の理工学部向けの教科書・参考書ではこの定理の証明はたいてい「容易なので省略する」となっており、私が見た中で唯一証明してあるのは「微分積分学1」(三村征雄、岩波全書)です。

この本(235ページ)によると、α≧0、α≦0の二つの場合に分けています。α≧0の...続きを読む

Aベストアンサー

細かい議論までは、追っていませんが、リーマン積分の定義が分かっていれば、「自明」じゃないですかね。
リーマン積分というのは、上積分の下限と下積分の上限が一致する時に、この値を∫(a,b)f(x)dxのように書くという感じで定義されてましたよね。(ちゃんとした定義は教科書を見てください)

∫(a,b)αf(x)dxというものを考えたとしても、上限や下限の値がα倍されるだけですので、両者が一致する事に代わりはないし、値自体もα倍される、つまり、α∫(a,b)f(x)dxに等しくなりますよね。(αが負の場合には、負の数を掛けたのだから上限と下限がひっくり返る、みたいな微妙な違いはありますが、何かが大きく変わる訳ではない)

Q「歌う」が「う・と・-」は音便ですか?

はじめまして、よろしくお願いします。
音楽の先生から「蛍に光」の2番の最後の「さきくとばかり【うとう】なり」は「う・と・う」と発音するのではなく、「う・と・-」と最後を伸ばして歌うものだと教えられました。
昔の古めかしい歌詞はこのように歌うと聞きました。

1.このような「歌う」が「うとー」になるのは、音便ですか。
2.歌でこのようケースがほかにもあったら教えて欲しいです。できたらたくさん教えてください。

Aベストアンサー

こんにちは。
1.これは音便とは言いません。
先生のおっしゃる「昔の古めかしい歌」とは「文語で書かれた歌詞」のことで、こういうものは、「歌う(歴史的仮名遣いでは、うたふ)」という言葉を朗読、朗詠、歌唱するときは「う・と・-」と最後を伸ばして歌うものです。先生のおっしゃる通りです。
すなわち、文語調の歌の「あう(歴史的仮名遣いでは、あふ)」や「おう(おふ)」は「お・-」と「お」を伸ばして歌います。
「うたう(うたふ)」⇒「う・と・-」
「におう(にほふ)」⇒「に・お・-」
「さすらう(さすらふ)」⇒「さ・す・ろ・-」など。
これを「う・た・う」とか「う・と・う」と歌うと文語の格調が損なわれます。
ただ、格調とは無関係のヤクザ風アンチャンがそのように歌うとかえっておかしいかもしれません(「北帰行」で小林旭が「さ・す・ら・う」と歌っています)。
次の参考URLで京大OBが三高寮歌紅萌ゆるを歌っています。
「匂う(ふ)」「伝う(ふ)」「思う(ふ)」などは、みな「お・-」と歌っています(歌い方はへたくそですが)。
http://music.geocities.jp/yoshidaryou21/audio/audio04.html

先生のおっしゃることは正しいと思います。
格調高い文語調の歌詞は、伝統的な歌い方で歌うべきだと思います。
(ただし格調の低い文語マガイの歌詞や品のない歌い方の歌手はその限りにあらず)

2.このようなケースをたくさん知りたい・・・音楽カテゴリーでお尋ねになったら、もっと出てくるかもしれません。

なお、歌詞に「歌う」が「うとう」となっていたら、これは「う・と・-」と歌ってくださいということでしょう。
「うとう」の最後の「う」は新仮名遣いのオ列長音の「う」のつもりです。
「おはよう」の「う」と同じです。誰も「お・は・よ・う」とは発音しません。「おはよー」です。
楽譜の歌詞のオ列長音の書き方に問題があるかもしれません。

こんにちは。
1.これは音便とは言いません。
先生のおっしゃる「昔の古めかしい歌」とは「文語で書かれた歌詞」のことで、こういうものは、「歌う(歴史的仮名遣いでは、うたふ)」という言葉を朗読、朗詠、歌唱するときは「う・と・-」と最後を伸ばして歌うものです。先生のおっしゃる通りです。
すなわち、文語調の歌の「あう(歴史的仮名遣いでは、あふ)」や「おう(おふ)」は「お・-」と「お」を伸ばして歌います。
「うたう(うたふ)」⇒「う・と・-」
「におう(にほふ)」⇒「に・お・-」
「...続きを読む

Q(d/dx)∫(a~b)f(x,y)dy=∫(a~b)(d/dx)f(x,y)dyの成立条件

(d/dx)∫(a~b)f(x,y)dy(つまり、f(x,y)をyで積分(定積分)したものをxで微分したもの)を考えます(ただし、(a~b)は積分範囲を表し、aやbは定数であって、xの関数ではありません)。
これは多くの場合、∫(a~b)(d/dx)f(x,y)dy(つまり、f(x,y)を先にxで微分してからyで積分したもの)と等しくなります。しかし、まれに一致しない場合があります。例としては、f(x,y)=(sin xy)/y (x>0)の場合が挙げられます。
そこで、
(d/dx)∫(a~b)f(x,y)dy=∫(a~b)(d/dx)f(x,y)dy
が成立するための必要十分条件を教えていただきたいと思っています。
もし簡単には述べられない条件でしたら、何のどこを参照すればこのことが論じられているのかを具体的にご教示いただけると幸いです。

Aベストアンサー

積分と微分の順序交換については
必要十分条件は一般にはありません.
ただし,十分条件は知られています.

リーマン積分の範囲だと
f(x,y)が連続で,f_y(x,y)も連続くらいの条件があれば
d/dy∫f(x,y)dx = ∫f_y(x,y)dx
くらいがいえるはずです.
#積分区間とかは省きます.

その十分条件で一番便利だろうと思われるものは
ルベーク積分の言葉で記述されます.
興味があれば,「ルベーク積分」の本を
追いかけてください.
・ルベークの有界収束性定理
・L^1空間
というようなものが理解できれば,順序交換の定理は理解できます.

Q秀丸エディタで、「-」や「ー」を文字の前に追加したい。

秀丸エディタを使って「-」や「ー」などの文字を、すべての行の前に追加するにはどのようにすればいいのでしょうか?

例えば、「-」や「ー」などの記号をすべての行の前に追加したい場合、

1121
1121

などを

ー1121(全角)
-1121(半角)

のようにしたいです。


よろしくお願いします。

Aベストアンサー

正規表現を使います。私はあまり得意ではありませんが、知っているものを紹介します。

考え方は行末の改行コードに着目します。改行コードの次が『-』や『ー』になればよいわけですから、メニューバーの検索→置換で置換代やログボックスを表示させ、検索に『\n』、置換に『\n-』と入力します。次に正規表現にチェックが入っている事を確認して、全置換をクリックすると1行目を除く各行頭に『-』が挿入されます。

1行目だけは入らないので手で入力します。正規表現にチェックが入っていないとうまく置換されませんから注意が必要です。

参考になれば幸いです。

Q∫[a,b](f(x)+g(x))dx=∫[a,b]f(x)dx + ∫[a,b]g(x)dx の証明

ある本(微分積分学)を読んでいて、次のような定理の証明を考えています。

有界なf(x),g(x)が[a,b]でリーマン積分可能であるとき、f(x)+g(x)もそうであり、∫[a,b](f(x)+g(x))dx=∫[a,b]f(x)dx + ∫[a,b]g(x)dxが成り立つ。

定積分に関するごく初歩的な定理ですが、これを、上限と下限の不等式を使って証明しようとしているのですが、うまくいきません。ヒントには次のようになっています。

#以下の記述ですが、上の本は記号の表示に誤りを含んでいるように思われましたので正しい表示に直してあります。

ヒント
fに対する不足和、過剰和を、それぞれ、 s(f,Δ)、S(f,Δ)というふうに書けば、s(f,Δ)+ s(g,Δ)≦s(f+g,Δ)≦S(f+g,Δ)≦S(f,Δ)+ S(g,Δ) に注意せよ。

同書の略解
分割Δの小区間[a(i-1),a(i)]における f+g,f,g の下限をm(i),n(i),p(i)とすれば m(i)≧n(i)+p(i)、ゆえにs(f,Δ)+ s(g,Δ)=Σn(i)(a(i)-a(i-1)) + Σp(i)(a(i)-a(i-1))≦Σm(i)(a(i)-a(i-1))=s(f+g,Δ)同様にS(f+g,Δ)≦S(f,Δ)+ S(g,Δ) だから、inf(S(f,Δ))=sup(s(f,Δ))、inf(S(g,Δ))=sup(s(g,Δ))なら、inf(S(f+g,Δ))=sup(s(f+g,Δ))=、sup(s(f,Δ))+sup(s(g,Δ))

となっていますが、最後の等式がどうしても出てきません(その前までは理解できました)。行間を埋めていただけるとありがたいです。

s(f,Δ)+ s(g,Δ)≦s(f+g,Δ)≦S(f+g,Δ)≦S(f,Δ)+ S(g,Δ)

からそれぞれの辺のsup、infを考えるとできるのではないかとも思われるのですが、どうしてもわかりませんでした。

よろしくお願いいたします。

ある本(微分積分学)を読んでいて、次のような定理の証明を考えています。

有界なf(x),g(x)が[a,b]でリーマン積分可能であるとき、f(x)+g(x)もそうであり、∫[a,b](f(x)+g(x))dx=∫[a,b]f(x)dx + ∫[a,b]g(x)dxが成り立つ。

定積分に関するごく初歩的な定理ですが、これを、上限と下限の不等式を使って証明しようとしているのですが、うまくいきません。ヒントには次のようになっています。

#以下の記述ですが、上の本は記号の表示に誤りを含んでいるように思われましたので正しい表示に直してあります。

...続きを読む

Aベストアンサー

おそらく、同じ分割Δに対して、不等式、
s(f,Δ)+ s(g,Δ)≦s(f+g,Δ)≦S(f+g,Δ)≦S(f,Δ)+ S(g,Δ)
を考えているからわかりにくいのだと思います。

分割Δ1と分割Δ2を合体させた分割をΔ3とします。
Δ1の分割点x1,…,xmと、Δ2の分割点y1,…,ynを合わせた分割点
x1,…,xm,y1,…,ynによって[a,b]を分割するのがΔ3という意味。

小区間[x(i-1),xi]が2つの小区間[x(i-1),yj]と[yj,xi]に分割された
とすると、小区間[x(i-1),xi]でのinf(f)(xi-x(i-1))よりも、
2つの小区間[x(i-1),yj]と[yj,xi]での
inf(f)(yj-x(i-1))+inf(f)(xi-yj)の方が大きくなる。
sup(f)では逆に小さくなる。
(グラフを描いてみればわかると思います)

すなわち、分割を細かくすると、不足和は大きく、過剰和は小さくな
る。

なので、s(f,Δ1)≦s(f,Δ3)、s(g,Δ2)≦s(g,Δ3)
辺々足して、
s(f,Δ1)+s(g,Δ2)≦s(f,Δ3)+s(g,Δ3)
≦s(f+g,Δ3)≦sup(s(f+g,Δ))←これは、あらゆる分割Δに対するsup
という意味で使っているので、Δは分割の変数のような記号と思って
ください。

このように、別個の分割に対する不等式が示せたので、
s(f,Δ1)、s(g,Δ2)それぞれであらゆる分割を考えて、
sup(s(f,Δ))+sup(s(g,Δ))≦sup(s(f+g,Δ))

infのほうも同様です。

本の記述はわかりませんが、同じ分割に対してのみsup,infを考えてい
たのでは、やや曖昧な気がします。

しかし、私の大学時代の関数論が専門の教授は、一松信先生は大先生
だと絶賛していましたが・・・
おそらく、本の中で論理は通っているものと思われますが・・・

おそらく、同じ分割Δに対して、不等式、
s(f,Δ)+ s(g,Δ)≦s(f+g,Δ)≦S(f+g,Δ)≦S(f,Δ)+ S(g,Δ)
を考えているからわかりにくいのだと思います。

分割Δ1と分割Δ2を合体させた分割をΔ3とします。
Δ1の分割点x1,…,xmと、Δ2の分割点y1,…,ynを合わせた分割点
x1,…,xm,y1,…,ynによって[a,b]を分割するのがΔ3という意味。

小区間[x(i-1),xi]が2つの小区間[x(i-1),yj]と[yj,xi]に分割された
とすると、小区間[x(i-1),xi]でのinf(f)(xi-x(i-1))よりも、
2つの小区間[x(i-1),yj]と[yj,xi]での
inf(f)(yj-x(i...続きを読む

Q(2X-2)2乗ー2X(X-7)=20 の解答

(2X-2)2乗ー2X(X-7)=20
4X2乗-8X+4-2X2乗+14X=20
2X2乗+6X=16

ここから先が計算できません。どうやら平方根を使うらしいのですが・・・。解法をご存知の方、解説していただけますでしょうか?

Aベストアンサー

x^2とかくとxの二乗のという意味になります。

2x^2+6x-16=0
2(x^2+3x-8)=0

あとは二次方程式の解の公式
http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/kainokoshiki/
を使いましょう

ちなみに二次方程式が因数分解出来る場合は解の公式を使わずにとくことができます。
x^2-4x+4=0 の場合
(x-2)^2=0に変形できますのでx=2とわかります
以下を参考に
http://ja.wikibooks.org/wiki/%E5%88%9D%E7%AD%89%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%85%AC%E5%BC%8F%E9%9B%86/%E5%B1%95%E9%96%8B%E5%85%AC%E5%BC%8F

Qf(a+√b)=c+√b f(a-√b)=c-√b f(a+bi)=c+dif(a-bi)=c-di

f(a+√b)=c+√b
ならば
f(a-√b)=c-√b
は成り立ちますか。
√の中は変わらないので計算後も√bのままでいいでしょうか。

f(a+bi)=c+di
ならば
f(a-bi)=c-di
は成り立ちますか。
前回の質問が締め切られてしまいました。
前回回答いただきましたTacosanさま、かなり考えましたがヒントに最後まで答えることが出来ず、申し訳ありませんでした。一定の条件がわかりませんでした。こちらにも是非回答お願いいたします。詳しい回答本当にありがとうございました。

Aベストアンサー

反例:
xの一次式
f(x) = x ・(1-√2) + √2

f(1+√2) = (1+√2)・(1-√2) + √2
=1-2 + √2
=-1+ √2

f(1-√2) = (1-√2)・(1-√2) + √2
= 1 -2√2 + 2 + √2
= 3 - √2 ≠ - 1 - √2

---
f(x) = g(a,|x-a|) + (x - a)
と表せるなら
 f(a+√b) = g(a,|√b|) + √b = g(a,√b) + √b
 f(a-√b) = g(a,|-√b|) + (-√b) = g(a,√b) - √b
c = g(a,√b) とすれば
 f(a+√b) = c + √b
 f(a-√b) = c - √b
です。
ですが、 c + √b という形を見ただけでは、√b が「 + (x-a) 」に由来するものなのか、g(a,|x-a|)の|x-a|に由来するものなのか、g()に由来する xに依存しない定数√b なのか、判断できません。

Q秀丸エディタで「-」や「ー」を文字の後に追加したい。

秀丸エディタを使って「-」や「ー」などの文字を、英数字の行の後に追加するにはどのようにすればいいのでしょうか?

例えば、「-」や「ー」などの記号を英数字の後ろに追加したい場合、

1121
1121

などを

1121ー(全角スペース)
1121-(半角スペース)

のようにしたいです。


よろしくお願いします。

Aベストアンサー

「すべての行」に空行は含まれるのでしょうか。
空行にも-(スペース)をつけたいときは、左記の置換ダイアログで「検索」を
(^.*$)
とすればいいです。空行は無視したいときは、
(^.+$)
としてください。「置換」の文字列は先の回答と同じです。

Q∫[x=0~∞]logx/(1+x^2)の広義積分が収束することを確か

∫[x=0~∞]logx/(1+x^2)の広義積分が収束することを確かめよ

という問題がわかりません。

判定法定理とロピタルの定理よりx^1.5logx/(1+x^2)がx=∞で有界であることを示せました。

ですが、x=0のときどうやってもx^λlogx/(1+x^2) (λ<1)が有界であることを示せません。

僕の予想ではλ=0.5となると思うんですがロピタルを使っても有界になりません。

なおこの広義積分は必ず収束します。

誰か教えてください。

おねがいします。

Aベストアンサー

f(x)=(logx)/(1+x^2)
y=logx
x=e^y
dy/dx=1/x=1/e^y
g(y)=y/(e^{-y}+e^y)
∫f(x)dx=∫g(y)dy
a_n=∫[1~n]f(x)dx
∀ε>0に対して、
∃n0>e^{4/ε}
m>n>n0
n<x<m
S=logn<y<R=logm
|a_m-a_n|
=|∫[n~m]f(x)dx|
=|∫[S~R]g(y)dy|≦|∫[S~R](y/e^y)dy|=|(1+S)/e^S-(1+R)/e^R|≦4/S<ε

∫[1~∞]f(x)dxは収束する

∀ε>0に対して、
∃K>0(L>K→|∫[1~L]f(x)dx-∫[1~∞]f(x)dx|<ε)
0<δ<1/K
y=1/x
x=1/y
dy/dx=-1/x^2=-y^2
0<δ<x<1
1<y<1/δ

∫[δ~1]f(x)dx=-∫[1~1/δ]f(y)dy

|∫[δ~1]f(x)dx+∫[1~∞]f(x)dx|
=|-∫[1~1/δ]f(y)dy+∫[1~∞]f(x)dx|<ε

lim_{c→+0}∫[c~1]f(x)dx=-∫[1~∞]f(x)dx

∫[+0~∞]f(x)dx=0

f(x)=(logx)/(1+x^2)
y=logx
x=e^y
dy/dx=1/x=1/e^y
g(y)=y/(e^{-y}+e^y)
∫f(x)dx=∫g(y)dy
a_n=∫[1~n]f(x)dx
∀ε>0に対して、
∃n0>e^{4/ε}
m>n>n0
n<x<m
S=logn<y<R=logm
|a_m-a_n|
=|∫[n~m]f(x)dx|
=|∫[S~R]g(y)dy|≦|∫[S~R](y/e^y)dy|=|(1+S)/e^S-(1+R)/e^R|≦4/S<ε

∫[1~∞]f(x)dxは収束する

∀ε>0に対して、
∃K>0(L>K→|∫[1~L]f(x)dx-∫[1~∞]f(x)dx|<ε)
0<δ<1/K
y=1/x
x=1/y
dy/dx=-1/x^2=-y^2
0<δ<x<1
1<y<1/δ

∫[δ~1]f(x)dx=-∫[1~1/δ]f(y)dy

|∫[δ~1]f(x)dx+∫[1~∞]f(x)dx|
=|-∫[1~1/δ]f(y)dy+∫[1...続きを読む


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