∫1/√(x-a)・(x-b)dxの広義積分が収束することを示し、値を求めよ。ただし、積分区間はa~bとする。
この問題ですが、どうすればいいのかわかりません。展開の仕方からよかったら教えてください。

A 回答 (5件)

Siegmundさんが、


「a~b では (x-a)(x-b) < 0 ですから.ちょっと注意しないといけません.
1/√{(x-a)(x-b)} = -i/√{(x-a)(b-x)}
として,あとは ・・・」
と指摘されているとおりです。
私の計算はそれを見落としていて、π になりました。
-i 倍 の答えになるはずだから、 答えは -iπ でしょう。
私が最初に間違った答えを書いたので、お困りかと思い、追記しました。
それから、もっと詳しい解答をお望みですか?
私個人はkony0さんのもっと詳しい解説が読みたいですし、
ikecchiさん自身の答案も見たいです。
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まったくの蛇足です。

(^^;)
積分を行うだけなら、ベータ関数に持っていくという手もあります。
つまり、x:a→bのとき、y:0→1となるような線形写像y=(x-a)/(b-a)を考えると、
(x-a)(x-b) = (b-a)^2 * y(y-1), dx = (b-a) dy となるので、
あとは#3のsiegmundさんのおっしゃるとおり、√の中が負になることに注意して、
(与式)=∫1/{i(b-a)√y(1-y)} (b-a)dy = -i ∫y^(-1/2) (1-y)^(-1/2) dy
= -i * B(1/2,1/2) = -i * Γ(1/2)*Γ(1/2)/Γ(1) = -i * (√π)^2 / 1 = -iπ(答)
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a~b では (x-a)(x-b) < 0 ですから.ちょっと注意しないといけません.


1/√{(x-a)(x-b)} = -i/√{(x-a)(b-x)}
として,あとは
(1)  x = a cos^2θ + b sin^2θ
とおけばいいでしょう.
こうおくと
(2)  √{(x-a)(b-x)} = (1/2)(b-a) sin 2θ
(3)  dx/dθ= (b-a) sin 2θ
ですから,もうできたも同然です.
答は -iπ のようです.
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∫1/√(x-a)・(x-b)dx=∫1/√(展開して完全平方式にする)dx


=log(x-(a+b)/2+√xの2乗+A)なので
ただしAは定数部分です。

∫1/√xの2乗+Adx=log絶対値(x+√xの2乗+A)を利用しました。
これを範囲をa+1/n~bのときとa~b-1/nのときに分けてそれぞれnを無限大に
したときの極限値が一致することを示せば出来ますよ。
分かりましたか?
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私の計算では、答えは π になりました。

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計算の為のヒント

分母を
(1 + x)*(1 - x + x^2)
と因数分解できることに注意

収束性の判定
∫1/(x^3+1)dx1/(x^3+1)
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→log|y| = log|x^(1/x)|
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f(x) = log|x|とおき、g(x) = yとおくと、
log|y| = f(g(x))
ですので、

(log|y|)'
={ f(g(x)) }'
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です。f'(x) = 1/xですのでf'(g(x)) = 1/y、
g'(x) = (y)' = y'より、
(log|y|)'
= f'(g(x)) × g'(x)
= y' / y

です。
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(log|y|)'
= y' / y
= y' / { x^(1/x) }

となります。

(log|y|)' = { (1/x)log|x| }'
→y' / { x^(1/x) } = { (1/x)log|x| }'

この両辺に{ x^(1/x) }をかけると

y' = { x^(1/x) } × { (1/x)log|x| }'

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={ f(g(x)) }'
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