次の問題について質問させてください。
分数関数f(x))=(ax+b)/(cx+d)の逆関数を求める問題です。
解答は
y=(ax+b)/(cx+d)をxについて解くと
x(cy-a)=-dy+b
すなわちx=(-dy+b)/ cy-a
とあるんですが、ここで質問です。
この場合cy-aで割っているので、cy-a≠0を示す必要があるのではないですか?
問題文には特に示されていないのですが・・・。
ただ自分で示そうと思っていろいろやってみたのですが、できませんでした…。
それともここでは示す必要はないのでしょうか?
どなたかご存知の方アドバイスをお願いできませんか。よろしくお願いいたします。
No.1
- 回答日時:
>>cy-a≠0を示す必要があるのではないですか?
示す必要はありません。
f(x)=(ax+b)/(cx+d)はx=-d/cにおいては定義されないのと同様に、f^(-1)(x)=(-dx+b)/(cx-a)はx=a/cにおいては定義されない、というだけのことです。
springsideさま、ご回答ありがとうございます。
ですが、「f(x)=(ax+b)/(cx+d)はx=-d/cにおいては定義されないのと同様に、f^(-1)(x)=(-dx+b)/(cx-a)はx=a/cにおいては定義されない、というだけのことです。」とのことですが、「f(x)=(ax+b)/(cx+d)はx=-d/cにおいては定義されない」はわかりますが、逆関数を求める段階では、cx-a≠0とはいえないような気がします。もともとf^(-1)(x)=(-dx+b)/(cx-a)とあれば、x=a/cにおいては定義されない、といえると思うのですが・・・。
No.2
- 回答日時:
x=(-dy+b)/ cy-aという関数の形式から、yの定義域にa/cは含まれませんので、結果として問題はなさそうです。
完璧な回答をめざそうとするのであれば、関数という切り口ではなく、代数学的に、cy-a=0の場合とそうでない場合で場合分けをすればいいと思います、、、 と思いましたが、題意からcy-a=0とは、なり得ないことが背理法により示せました。
仮にcy-a=0と仮定すると、cy=a
ここで、仮にc=0ならa=0で、f(x)≡b/dとなり、逆関数を求めるという題意に反する。
∴c≠0…(1)
よって、cy=a⇔y=a/c…(2)
また、 x(cy-a)=-dy+b ⇔ dy=b
同様に、ここで、仮にd=0ならb=0で、f(x)≡a/c(xの定義域はx≠0)となり、逆関数を求めるという題意に反する。
∴d≠0…(3)
よって、dy=b⇔y=b/d…(4)
(2)、(4)⇒a/c=b/d⇒ad=bc…(5)
ところで、(1)、(3)より、
f(x)=(b/d){(adx+bd)/(bcx+bd)}(∵(3))
=(b/d){(bcx+bd)/(bcx+bd)}(∵(5))
=b/dで、
f(x)≡b/dとなり、逆関数を求めるという題意に反する。
以上から、cy-a=0の場合はあり得ない、
すなわち、c・f(x)-a=0となるxは存在しない。
(q.e.d)
これなら、f(x)=a/cが値域にないことを直接証明した方が早い気がしてきましたが、このようなところでいかがでしょうか?
YomTMさま、早速ご回答いただきありがとうございました。
ですが、「 x=(-dy+b)/ cy-aという関数の形式から、yの定義域にa/cは含まれません」とのことですが、残念ながら、この意味がわかりません。No.1さんもそのようにおっしゃっていましたが、私の勉強不足でわかりません。この「関数の形式から」ということはどういう意味でしょうか?この関数の形式でもy=a/cの可能性はあると思うのですが・・・。申し訳ありませんが、より詳しく教えていただけないでしょうか。よろしくお願いします。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
>逆関数を求める段階では、cx-a≠0とはいえないような気がします
いえるんですよ.
y=(ax+b)/(cx+d)は y=a/c は絶対にありえません.
少し式を変形します
y = ( (a/c) (cx+d) -ad/c +b ) / (cx+d)
= (a/c) + A/(cx+d)
A = -ad/c +b
と表せます.A/(cx+d)は
xが定義域中のどんな値をとっても0には
なりません
つまりy=a/cは起こりえないのです.
こんな計算をしなくても,
グラフを考えれば一目瞭然でしょう
分数関数の場合
漸近線には近づくだけで点を共有することは
ありません.
したがって,解答のように
やってしまってかまわないのですが
気になるのであれば,
問題がない旨を答案に書けばいいのです
むしろ,書いた方が
採点者に「わかって書いてるんだぞ」という
主張になります.
ちなみに本当にめんどくさいのは
「関数f(x)=(ax+b)/(cx+d)の逆関数を求めよ」
という問題です.「分数」の文字が消えただけですが
めんどくささ倍増です.とけますか?
同様の問題に
「方程式ax^2+bx+c=0の解を求めよ」
ってのがあります.
kabaokabaさま、ご回答ありがとうございます。
解読にかなり時間がかかってしまいました。
で、やっとわかりました。y=a/cは漸近線だったのですね。式変形のところもなにをどう変形してなんのために?と思ったのですが、ただ割っただけだったのですね。いやでも、y=a/cがすぐに漸近線だとどうしてわかったのでしょうか?私もまだまだ勉強がたりません。ありがとうございました。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 原始関数の存在性の証明について 数学科の3回生です。院試の勉強でつまづいたので助けてほしいです。 R 6 2022/11/13 19:19
- 数学 高校数学で質問があります。 2 2023/02/13 16:40
- 数学 【 数学 一次関数 】 問題 f(1)=-7,f(3)=-13を満たす1次関数f(x)を求めよ。 疑 4 2022/10/23 17:50
- 数学 陰関数を(dy/dx)求める問題について 1 2022/11/06 03:10
- 数学 高校数学で質問があります。 2 2023/02/13 15:49
- 数学 次の解析学の問題がわからないので教えて頂きたいです。 k>0 関数f(x)が区間[0,∞)で連続であ 3 2022/11/17 20:52
- 数学 乗法公式の問題についてです。 (x-y)(2x+y)??? 2 2022/10/18 19:50
- 高校 三次関数のグラフにつきまして 3 2022/05/15 11:14
- 数学 次の解析学の問題が解けないので教えていただきたいです。 関数f(x),g(x)がそれぞれ区間I,Jで 2 2022/11/17 20:50
- 数学 aは実数の定数で、 (x²+2x)−a(x²+2x)−6=0 …(✳) においてt=x²+2x とお 5 2023/02/15 20:41
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
マクローリンの定理の適用のし...
-
f(x) g(x) とは?
-
大学数学 広義積分について
-
極限を調べるときプラス極限マ...
-
f(x)=sin(x)/x って、とくにf(0...
-
「次の関数が全ての点で微分可...
-
大学の問題です。
-
微分の公式の導き方
-
数学の f(f(x))とはどういう意...
-
2変数の三次関数の極大値
-
微小量とはいったいなんでしょ...
-
xの多項式f(x)最高次の項の係数...
-
y=f(x)が(p,q)に関して対称な場...
-
マクローリン展開の問題です n=...
-
確率について ①Xが実数値をとる...
-
イプシロンデルタ論法の定義に...
-
極限、不連続
-
2013 慶応(らしいです)
-
どんな式でも偶関数か奇関数の...
-
(x^2)sin(1/x)
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
f(x) g(x) とは?
-
数学の f(f(x))とはどういう意...
-
微小量とはいったいなんでしょ...
-
大学の問題です。
-
差分表現とは何でしょうか? 問...
-
微分について
-
"交わる"と"接する"の定義
-
f(x)=sin(x)/x って、とくにf(0...
-
どんな式でも偶関数か奇関数の...
-
数学II 積分
-
f(x)=|x-3|+|x-2|+|x-1|の最...
-
関数f(x)がC∞-級関数であること...
-
左上図、左下図、右上図、右下...
-
極限、不連続
-
三次関数が三重解を持つ条件とは?
-
数学 fとf(x) の違いについて
-
導関数の値が0=定数関数 ど...
-
微分の公式の導き方
-
数学の洋書を読んでいて分から...
-
数学についてです。 任意の3次...
おすすめ情報