未知数の数だけ方程式の数が必要なのはなぜでしょうか?またこのことは確かなのでしょうか?
未知数が二つあれば方程式が二つ必要、ということには、今まで何の疑問もなくそうのように考え、今までそれでやってきました。しかし、今頃になって、本当に良いのだろうか思うようになりました。考えてみると、未知数二つに対して方程式一つでは、解けませんし、二つあれば確かに解けそうです。二つの方程式が適切なものあれば解けそうです。このことは、いままでみんながそうしているから間違いないだろう、自分の経験でも確かにそうだから、と思っていました。しかし、未知数の数だけ方程式の数が必要ということの理由や、それで大丈夫という証明は教わったことがないような気がします。馬鹿な疑問かもしれませんが、なにか教えていただけれると助かります。
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
証明は簡単です。
N個の未知数を含むN個の方程式の任意の一つを取り出すと、これによって一つ未知数を消去できますね。これをN-1個の方程式について行なうと最後に残った方程式の未知数は一つとなり、これからその未知数の価を求めることができます。あとは消去した逆をたどれば残りの未知数も求められることになります。
ただしN個の方程式を用意するというのは解くための必要条件であり、十分条件ではないことに留意してください。解けない場合があるのです。それはN個の方程式の中に他の方程式を足したり引いたりすると、その方程式になってしまうものが紛れ込んでいる場合です。一次連立方程式のときにはこれがときどき起こりますから用心してください。
早速のご回答ありがとうございます。
大変よくわかるご回答ありがとうございます。
証明の仕方まで教えていただいてありがとう
ございました。
No.3
- 回答日時:
証明ではありませんが・・・
n元1次連立方程式はn×n行列を用いて解けますね。
No.2
- 回答日時:
対象は連立一次方程式でよろしいでしょうか。
2次方程式を含むと例えば
x^2+y^2=0
の解は(x,y)=(0,0)で、二つの未知数に対して一つの方程式で解が一意に定まってしまいます。
連立一次方程式については、n個の未知数(x1,...,xn)はn次元ベクトル空間を作り、各方程式
Σ[j]a[i,j]*x[j]=b[i], i=1,...,n
はn-1次元超平面を示します。
交わる超平面は交わるごとに次元を1つずつ減らし、n個の交わりは0次元すなわち1点を示します。
これが未知数の数だけ(独立した)方程式が必要になるわけです。
方程式の数が足りなければ足りない次元分だけ解に自由度があり、方程式の数が多ければ解は空集合になります。
早速のご回答ありがとうございます。
なるほど、空間的に考えると良くわかります。
交わるごとに次元を一つづつ減らし最後には
一点になるというのは、納得しやすいですね。
No.1
- 回答日時:
自分なりの解釈ですが、単純な場合はグラフを書いてみるとよく分ります。
例えば Y=2X という式をグラフにすると、どのXに対しても一つのYが存在しますからXとYの組合わせは無限にある事がわかります。新たにY=-Xというグラフを描いて2つのグラフの交点が只1つだけ存在する事がわかります。これが2つの式の条件を両方とも満たす店であり唯一のYとXが決ります。 これを基本に未知数3つの場合は平面グラフでは無理ですが3次元で考えるとわかります。また2次数以上の場合は交点が複数現れたり、交点がない場合もあります。
この回答への補足
私は、こんなことを考えています。
未知数二つ,a、bに対して、方程式が二つあると、
F(a、b)=0
G(a、b)=0
これから、もしbが消去できれば、
H(a)=0
もしこれが解ければaが解け、FかGにaを代入して
もし解ければbが求められる。
でも、これは単に方程式を解いているだけで、
本当にこれだけで良いのだろうか、と思って
しまいます。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
-
都道府県穴埋めゲーム
都道府県の名前を1人1つずつ投稿してください。全ての都道府県が出たら締め切ります!
-
フォロワー20万人のアカウントであなたのあるあるを披露してみませんか?
あなたが普段思っている「これまだ誰も言ってなかったけど共感されるだろうな」というあるあるを教えてください
-
映画のエンドロール観る派?観ない派?
映画が終わった後、すぐに席を立って帰る方もちらほら見かけます。皆さんはエンドロールの最後まで観ていきますか?
-
海外旅行から帰ってきたら、まず何を食べる?
帰国して1番食べたくなるもの、食べたくなるだろうなと思うもの、皆さんはありますか?
-
天使と悪魔選手権
悪魔がこんなささやきをしていたら、天使のあなたはなんと言って止めますか?
-
連立方程式 未知数より方程式の数が多いとき
数学
-
なぜ未知数の数だけ方程式が必要なのか
数学
-
未知数の数だけ方程式が必要な理由 その後
数学
-
-
4
未知数が6つの連立方程式。
数学
-
5
0の積分
数学
-
6
未知数の多い連立方程式
数学
-
7
偏微分の記号∂の読み方について教えてください。
数学
-
8
絶対値の二乗の思考過程 |x-y|^2
数学
-
9
電位差がなければ電流は流れませんか?
その他(自然科学)
-
10
加速度と角加速度の関係について
物理学
-
11
連立方程式はなぜ解ける?
数学
-
12
数学は苦手だけど、物理は得意って人は存在するの?
物理学
-
13
導線で繋がれた極板はなぜ等電位になるのかを教えて下さい!
物理学
-
14
【物理】 一様な電場とあるのですが、なんで一様になるのでしょうか? 真ん中辺りがEが強くなる気がする
物理学
おすすめ情報
- ・漫画をレンタルでお得に読める!
- ・人生のプチ美学を教えてください!!
- ・10秒目をつむったら…
- ・あなたの習慣について教えてください!!
- ・牛、豚、鶏、どれか一つ食べられなくなるとしたら?
- ・【大喜利】【投稿~9/18】 おとぎ話『桃太郎』の知られざるエピソード
- ・街中で見かけて「グッときた人」の思い出
- ・「一気に最後まで読んだ」本、教えて下さい!
- ・幼稚園時代「何組」でしたか?
- ・激凹みから立ち直る方法
- ・1つだけ過去を変えられるとしたら?
- ・【あるあるbot連動企画】あるあるbotに投稿したけど採用されなかったあるある募集
- ・【あるあるbot連動企画】フォロワー20万人のアカウントであなたのあるあるを披露してみませんか?
- ・映画のエンドロール観る派?観ない派?
- ・海外旅行から帰ってきたら、まず何を食べる?
- ・誕生日にもらった意外なもの
- ・天使と悪魔選手権
- ・ちょっと先の未来クイズ第2問
- ・【大喜利】【投稿~9/7】 ロボットの住む世界で流行ってる罰ゲームとは?
- ・推しミネラルウォーターはありますか?
- ・都道府県穴埋めゲーム
- ・この人頭いいなと思ったエピソード
- ・準・究極の選択
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
3次、4次方程式は、具体的に何...
-
円の方程式?円の関数じゃないの?
-
エクセルでxを求めたいのですが!
-
高2数学の質問です。 円の方程...
-
2次関数と2次方程式の違い
-
連立方程式の解が交点の座標と...
-
2次関数 y=ax2+bx+cのxを求め...
-
数学の3大分野、代数・幾何・解析
-
3次方程式の逆関数の求め方
-
何年生で習う範囲ですか?
-
与えられた2数が和と積のとき...
-
Mathematicaでの微分方程式に関...
-
変数 未知数 について
-
z^3=1を満たす複素数を答えよ、...
-
複素数の偶奇性について
-
このイラスト計算パズルの答え...
-
aを実数の定数とする。xの方程...
-
遊んでいそうな顔=イケメンモ...
-
空間上の円の方程式について
-
大学受験で四次方程式の解と係...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
何年生で習う範囲ですか?
-
2次関数 y=ax2+bx+cのxを求め...
-
遊んでいそうな顔=イケメンモ...
-
エクセルでxを求めたいのですが!
-
円の方程式?円の関数じゃないの?
-
未知数の数と必要な方程式の数...
-
2次関数と2次方程式の違い
-
円柱と円の方程式
-
数学の3大分野、代数・幾何・解析
-
xの5乗=1 の答えを教えてく...
-
高2数学の質問です。 円の方程...
-
与えられた2数が和と積のとき...
-
数学IIの問題です。 kを定数と...
-
連立方程式の解が交点の座標と...
-
4点を通る曲線の方程式
-
数学の哲学で問われるテーマに...
-
3次、4次方程式は、具体的に何...
-
実数係数4次方程式の判別式
-
2x3行列の逆行列の公式
-
数学(軌跡) 写真の問題について...
おすすめ情報