因数分解の交代式

青チャート１Aで以下の問題が出ました

因数分解の交代式の質問です

a(b-c)^3+b(c-a)^3+c(a-b)^3と言う問題で

普通に因数分解すると今まで習ったやり方では

一度展開して次数の高い順に整理して・・・となるんですが

長すぎて計算間違いをしているのか途中で符号が変になったり

二重に整理してしまったりと訳が分からなくなりました

かなり長くなるので別解で

与式＝(a-b)(b-c)(c-a)Q　与式は四次式であるから　Q=k(a+b+c) Kは定数　とおける

与式のa^3の係数-(b-c)と比べるとk=1であることが分かると

簡潔な解答が書かれていました

質問ですが　

-(b-c)と比べるとk=1であることがわかるとはどういう意味ですか？

結局この問題はどんな解法で解くと一番早く答えを出せるのでしょうか？

しばらく考えていたのですが全く分かりません

どなたか詳しい方分かりやすく教えていただけませんか？

解答よろしくお願いします

No.1 回答者： totoro7683 回答日時： 2006/09/28 09:05

まず与式が(a-b)(b-c)(c-a)で割り切れるのはいいでしょうか。

それは与式においてa=b,b=c,c=aとおくと与式が０になるからです。
与式＝(a-b)(b-c)(c-a)Qとおく
つぎに与式は対称式つまりaとｂ、ｂとｃ、ｃとaを入れかれても元に戻ります。(a-b)(b-c)(c-a)は対称式なので
Qも対称式になります。与式は４次なのでQは１次式になり、１次の対称式はk(a+b+c)に限られます。
kを決めるにはa^3の係数が両辺で一致するように仕向ければよいです。
右辺のa-3係数は-b+c,（－ｂはb(c-a)^3のa^3の係数、
ｃはｃ(a-b)^3のa^3の係数）
左辺は1*(b-c)*(-1)*k
したがって、k=1がでてきます。

No.2 回答者： debut 回答日時： 2006/09/29 02:04

時間の節約に、簡単なやり方を覚えるのもいいですが、この場合なら、

とりあえずａについてまとめてみよう、ということさえ浮かべばあとは
勝手に進んでいくのではないでしょうか？

aについてまとめるから、a(b-c)^3はそのままにして、
b(c-a)^3=b(c^3-3c^2a+3ca^2-a^3)=bc^3-3abc^2+3a^2bc-a^3b
c(a-b)^3=a^3c-3a^2bc+3ab^2c-b^3c
aについて整理して、
(c-b)a^3+(3bc-3bc)a^2+{(b-c)^3-3bc^2+3b^2c}a+(bc^3-b^3c)
=-(b-c)a^3+{(b-c)^3+3bc(b-c)}a-bc(b^2-c^2)
=-(b-c)a^3+(b-c){(b-c)^2+3bc}a-bc(b-c)(b+c)
ここで、共通因数b-cをよけといて、
-a^3+(b^2+bc+c^2)a-bc(b+c)をbについて整理して、
=(a-c)b^2+(ac-c^2)b-a^3+ac^2
=(a-c)b^2+(a-c)cb-a(a^2-c^2)
=(a-c)b^2+(a-c)cb-a(a-c)(a+c)
ここで共通因数a-cをよけといて
b^2+cb-a(a+c)をcについて整理して
(b-a)c+(b-a)(b+a)
=(b-a)(c+b+a)

以上から、(b-c)(a-c)(b-a)(a+b+c)

説明のため細かく書きましたが、途中は暗算でとばせるし、最後は c で
整理するまでもないから、実際は６、７行くらいのものでしょう。

No.3 回答者： nekochari 回答日時： 2006/10/02 21:36

　交代式の性質を使って解くのは、回答をだけを要領よく素早く求めるのにはいいかもしれませんが、正確を期してきちんと記述するとそれはそれである程度の手間はかかるものです。

　ここの質問を検索してみると、以下の質問の回答No.4が大変優れたものであったので、私が改めて書くよりよほどいいので、紹介しておきます。
　問題の式とは少し違うのですが、交代式の性質を使って解くとき方としては同じです。

http://okwave.jp/kotaeru_reply.php3?q=872952

　この回答と比べると、お持ちの参考書の回答は簡潔すぎて、ちょっと説明不足で不親切かなとも思いました。

　この問題は、交代式の性質を利用して解く以外では、特にエレガントな方法というのはないようで、こつこつと解いていく必要があります。
　こつこつと解いていくときに、間違えやすいということですので、正確に解いていくコツなどを書いておきます。

a(b-c)^3+b(c-a)^3+c(a-b)^3

　を見て、まず、a,b,c のどれに注目しても同じであることは分かると思います。対称式か交代式であると感じることは大切です。
　このままの形では、共通因数は出ませんから、まず展開しますが、このとき、こういう対称式や交代式での展開は、一つの文字に着目して整理する段階の前までは、この対称性を保った形で展開していくと間違いにくいです。

　では解いてみましょう。

a(b-c)^3+b(c-a)^3+c(a-b)^3

= a{b^3 - c^3 - 3bc(b - c) }　←最初の項から
+ b{c^3 - a^3 - 3ca(c - a) }　←２番目の項から
+ c{a^3 - b^3 - 3ab(a - b) }　←３番目の項から

　ここでは、(X - Y)^3 = X^3 - Y^3 - 3XY(X - Y) という公式を用いています。この公式は必ずしも必要ではありませんが、使えると便利なことが多いです。(X - Y)^3 = X^3 - 3(X^2)Y + 3XY^2 - Y^3 の公式を用いてもかまいません。ここではそう大きな手間の差はないようです。
　ここで各項の展開に１行を使っているのが大きなポイントです。こうして書くと、上下にきれいに揃いますので、間違いがあるなら、それが見つけやすくなりますし、あとでチェックするときにも、チェックしやすいです。
　つまり、縦に読んで、a から始まるなら abc、bから始まるなら bca、cから始まるならcab と唱えて、間違いないかチェックします。
　さて、( )^3 が間違いなく展開できたら、さらに( ) の前の文字を展開します。

= ab^3 - ac^3 - 3abc(b - c)
+ bc^3 - ba^3 - 3abc(c - a)
+ ca^3 - cb^3 - 3abc(a - b)

　ここまで来ると、各行の最後の項に3abcという因子が共通に出現し、各行の最後の項を縦にまとめると a,b,c 各文字についてプラスのついた文字が１つずつ、マイナスのついた文字が一つずつで、きれいに打ち消し合って0になるのが分かると思います。慣れると、もとの式を見ながら考えていると、ここのところまで見えてきます。
　各行の最後の項は消えて無くなるので、改めて

= ab^3 - ac^3
+ bc^3 - ba^3
+ ca^3 - cb^3

　と書いてもいいですが、そこまでしなくても分かると思います。とりあえず最後の項を斜線で薄く消しておくくらいでもよいでしょう。

　さて、ここからは一つの文字について整理するという一般的な方法で行くことになります。ここまで整理すると交代式であることは分かりやすいですから、(a - b)(b - c)(c - a) でくくれることを念頭に置いておくと、方向性を失いにくくなります。
　どの文字に着目しても同じですから、a について整理してみましょう。

　ここでも、行に分けて書くことは大変役に立ちます。a の次数ごとに行を分けます。
　まず、a^3 の項を抜き書きします。書き写した項は、下に線を引いて書き落としのチェックとします。
　次の行には a^2 の項を書くのですが、この式には a^2 の項はありません。a の項を書き写します。元の式の書き写した項には下線を引くのを忘れずに。
　３行目は、a を含まない項です。下線を引いていない項がそれに当たるはずです。元の式の書き写した項には下線を引いていくとすべての項に線が引かれるはずです。
　見落としがあれば、正しい行に書き写します。
　最後に、念のため、項の数を数えます。元の式の項は６つ。書き写した式の項も６つであれば、書き落としはなさそうです。

= -ba^3 + ca^3　　← a^3 の項を抜き書きしました
+ ab^3 - ac^3　　← a の項を抜き書きしました
+ bc^3 - cb^3　　← a を含まない項を抜き書きしました

　何のために a で整理しているかというと、a^3 の項、a の項、a を含まない項の、それぞれから、共通の因子が出てくるハズ、ということで整理しているのです。そういう見通しが大切です。ここで、交代式の知識から、この出てくるはずの項は (b-c) であると見当がつきます。
　なぜなら、(a - b)(b - c)(c - a)をaで整理すると、(b - c) {-(a - b)(a - c)}となるからです。ですから、答えは分かっているので、どんどんと各行から(b - c)をくくりだしていきます。

= (-b + c) a^3
+ (b^3 - c^3)a
+ bc(c^2 - b^2)

= -(b - c)a^3
+ (b - c)(b^2 + bc + c^2)a
+ (c - b)(c + b)bc ←これを書いたあと右側に小さく -(b - c)(b + c)bc とメモっておくと間違いにくい。

= (b - c){ -a^3 + (b^2 + bc + c^2)a - (b + c)bc}
= -(b - c){a^3 - (b^2 + bc + c^2)a + (b + c)bc}

ここで、１行にまとめています。

　以後は後ろの括弧の中だけを考えていけばいいわけです。単純に今度は別の文字について整理していけばいいのですが（最も次数の低い文字で整理するというのが原則で、最初はどれも同じでしたが、今度はaは３次、b,cは２次ですから、bかcで整理することになります）、この段階で、交代式の知識と３次方程式の知識とを使ってこのaの３次式を因数分解する方法もあります。つまり、このaの３次式で、既に交代式の知識から (a - b)(a - c)が因数としてあることが分かっていますから、残る因数は N がaを含まない式として(a - N) と置くことができて、(a - b)(a - c)(a - N)となるからです。これが納得できるなら、
(a - b)(a - c)(a - N)
=a^3 - (b + c + N)a^2 + (bc + cN + Nb)a - bcN
と
a^3 - (b^2 + bc + c^2)a + (b + c)bc
を見比べて、b + c + N = 0 から、N = - b - cが分かり、このときちゃんと
bc + cN + Nb　= - (b^2 + bc + c^2)
- bcN = (b + c)bc となるので、
(a - b)(a - c)(a - N)
= (a - b)(a - c)(a - { - b - c})
= (a - b)(a - c)(a + b + c)
といえるわけです。

　この方法を使わないなら、さらに単純に整理を続ければよいです。今度は b について整理すると、やはり行わけを使いながら、

= -(b - c){a^3 - (b^2 + bc + c^2)a + (b + c)bc}（ここからスタート、再度書きました）
= -(b - c)
{ - ab^2 + c(b^2)　　　← b^2 の項です。
- ac b + (c^2)b　　　← b の項です
a^3 - ac^2 }　　　　　← bを含まない項です。
　上記に整理するとき、やはり、書き写した項の下に線を引くという方法をとると、書き落とし、書き間違い、重複が防げます。項の数を数えて書き落としチェックをするのもお忘れ無く。

　出てくる因子は、(a - b)(b - c)(c - a)の内の、(b - c)は括りだし済みで、残る(a - b)(c - a)のうち、整理に使用したbを含まない項、つまり(c - a)です。それを念頭に置いて整理します。

= -(b - c)
{ (- a + c) (b^2)
+ (- ac + c^2 )b　　←これは (-a + c)cb とメモります
+ a(a^2 - c^2) }　　←これは a(a + c)(a - c) = -a(a + c)(-a + c)とメモっておきます
となるので、ここで(-a + c)を括り出します。

= -(b - c) ( - a + c)
{ (b^2)
+ bc
- a(a + c) }

　大分簡単になりました。最後は残る c について整理すると、

= -(b - c) ( c - a)　←２項目は順番を入れ替えて整えました。
{ bc - ac　　　　　　←c の項です。
+ b^2 - a^2 }　　　←c を含まない項です。
　やはり、書き写した項の下には線を引いてチェック、最後に項の数えてチェックしましょう。

　出てくる項は a - b に決まっているので、簡単です。ここの場合 b - a で出てきました。

= -(b - c) ( c - a)　←２項目は順番を入れ替えて整えました。
{ (b - a)c
+ (b + a)(b - a) }

= - (b - c)(c - a) (b - a) {c + (b + a)}
　あとは形を整えて
= (a - b)(b - c)(c - a)(a + b + c)

　以上、ご質問の交代式を使ったとき方については、下記参考URLを紹介することで説明に替えました。さらに、「長すぎて計算間違いをしているのか途中で符号が変になったり二重に整理してしまったり」ということが起こりにくい方法を説明いたしました。

参考URL：http://okwave.jp/kotaeru_reply.php3?q=872952