No.1
- 回答日時:
うーん・・・微積を使う前の立式段階は、高校入試程度の問題なのですが・・・
1.は、考えるべき立体をすぱっと2つに切ったら、
「二等辺三角形の中に円が内接している」図ができますよね?
で、面倒なので、内接円の半径(もとの球の半径)を1として、二等辺三角形の底辺の半分(=円錐の底面の半径)をr、二等辺三角形の高さ(=円錐の高さ)をhとして、rとhの関係式を求めてあげればOKでしょう。
私なら二等辺三角形の等辺(=円錐の母線)がr(h-1)になることを相似から持ってきて、三平方で式を組みます。
また、「表面積の比」は、「球」と「『体積』最小の直円錐」との比でしょうか?
2.もとの円の半径は面倒くさいので1として、求める中心角をΘ[ラジアン]とすれば、円錐の母線が1、底面の半径がΘ/2πになるので、高さは三平方を利用して終わり?!(微分のところ等、ちょっと式の処理がうざいですが)
自分なりに計算したのだと、
1.は、球:円錐の体積比は1:2、面積比は略
2.は、(2√6)π/3[ラジアン]=(60√6)[度]
ただし、計算間違い等しているかもしれません。あしからず。
どこまで考えたのかをきちんと書かないと、適切な回答もらえませんよ。(--メ)
No.2
- 回答日時:
1)球の半径をaとでもおいて、一つ一つ長さを求めていけば解けるはずです。
ヒントは断面図です。2)円錐を作るんですね。「容積を最大にするには」と「中心角はいくらか?」を分けて読む必要があります。大切なのは中心角ではなくて容積です。
No.3
- 回答日時:
問題1)これは解き方の原理は簡単なのですが、計算がたいへん面倒なのです。No.2 の人は、自分で式を立てていないようですね。昨夜考えていましたが、計算が面倒なので、どうなるか置いておいたところ、やはり回答する人はいません。
理論的には、球の半径を1,円錐の底面半径をr、高さをhとすると、rを無限に大きくして行っても、高さは球の直径2以下にはなりませんし、反対に、hを無限に大きくして行っても、半径rは、球の半径1以下にはなりません。従って、体積は、rかhのどちらかを無限に大きくしてゆくと、無限になるので、その中間のどこかで、有限の最小=極小値を取るはずです。
円錐の体積を、1変数で表現して、この変数で、体積の式を微分し、それを=0とすれば、極値が出てきます。問題は、体積式が、たいへん面倒な形になることです(難しい形になるのではありません)。
では、具体的に計算しましょう。球の半径は1,円錐の底面半径はr、円錐の高さはhです。そこで、これは図を描いてもらわないと分かりにくいですが、球の中心を通る、垂直な面で切って、その断面を考えます。真ん中に、左右二つの接点を、二等辺三角形と持った円があります。この円が球の断面で、二等辺三角形が円錐の断面です。この二等辺三角形の二つの底辺の角度を、sとします。本当はギリシア文字がよいのですが、ギリシア文字を書くのは一々面倒だからです。そして、t=(π/2)-sという式でtを決めます。tは何になるのか、図で見ると分かります。(2tが、円錐の三角形の頂点の角度になります)。
円錐の体積Vは、次のような式になります。V=(1/3)*π(r^2)*h
従って、rとhを求める必要があります。
r/h = tan(t) = sin(t)/cos(t), 式1)
1/(h-1) = sin(t) 式2)
何故、こういう関係式が出てくるかは、図を見て、よく考えてください。
式2より、h-1 = 1/sin(t) → h = [sin(t)+1]/sin(t)
式1より、r = h*sin(t)/cos(t) = sin(t)*[sin(t)+1]/[sin(t)*cos(t)]
=[sin(t)+1]/cos(t)
(π/3)*W = V とすると、W = h*r^2
Wが極小になる値を求めればよいことになります。
W = {[sin(t)+1]/sin(t)}*{[sin(t)+1]/cos(t)}^2
= [sin(t)+1]^3/[sin(t)*cos(t)^2]
こんな面倒な式になるので、計算が面倒なのです。とまれ、Wをtで微分すると:
dW/dt = 3*[sin(t)+1]^2*cos(t)/[sin(t)*cos(t)^2]
-{ [sin(t)+1]^3/[sin(t)*cos(t)^2]^2}*{[cos^3(t)]-[sin(t)*2cos(t)*sin(t)]}
= 3*[sin(t)+1]^2*cos(t)/[sin(t)*cos(t)^2]
-{ [sin(t)+1]^3/[sin(t)*cos(t)^2]^2}*{[cos^3(t)]-[2sin^2(t)*2cos(t)]}
= 3*[sin(t)+1]^2*cos(t)/[sin(t)*cos(t)^2]
-{ [sin(t)+1]^3*{[cos^3(t)]-[2sin^2(t)*2cos(t)]}/[sin^2(t)*cos^4(t)]}
= 3*[sin(t)+1]^2*[sin(t)*cos^2(t)]/[sin^2(t)*cos^3(t)]
-{ [sin(t)+1]^3*{[cos^2(t)]-[2sin^2(t)*2]}/[sin^2(t)*cos^3(t)]}
式が複雑で、何かよく分からないですが、計算間違いしているかも知れません(昨日も、式が錯綜して来たので、計算をやめたのですが)。
[sin^2(t)*cos^3(t)]=0にはなりません。sin(t) も cos(t) も0にはならないからです。従って
Y=3*[sin(t)+1]^2*[sin(t)*cos^2(t)]-{ [sin(t)+1]^3*{[cos^2(t)]-[4sin^2(t)]}=0
= [sin(t)+1]^2*{3*[sin(t)*cos^2(t)]-{ [sin(t)+1]*{[cos^2(t)]-[4sin^2(t)]}}=0
ここで、sin(t)+1 = 0 という解と、それに乗算する以下の式が0という二つの解画でます
{3*[sin(t)*cos^2(t)]-{ [sin(t)+1]*{[cos^2(t)]-[4sin^2(t)]}}=0
無理に展開すると
= 3*sin(t)cos^2(t)-sin(t)cos^2(t)+4sin^3(t)-cos^2(t)+4sin^2(t)
= 2*sin(t)cos^2(t)+4sin^3(t)-cos^2(t)+4sin^2(t)
= cos^2(t)[2sin(t)-1]+4sin^2(t)[sin(t)+1]
(sin^2(t)+cos^2 = 1 より、cos^2(t) = 1-sin^2(t))
→ = [1-sin^2(t)]*[2sin(t)-1]+4sin^2(t)[sin(t)+1]
= 2sin(t)-2sin^3(t)-1+sin^2(t)+4sin^3(t)+4sin^2(t)
= 2sin^3(t)+5sin^2(t)+2sin(t)-1=0
これは三次方程式です。しかし偶然か、sin(t)=-1 を代入すると
= 2(-1)^3+5(-1)^2+2(-1)-1=-2+5-2-1=0 であるので、sin(t)=-1 が解の一つ。
式= [sin(t)+1]*[2sin^2(t)+3sin(t)-1]=0
sin(t)=-1 という解は、この問題の場合、無効な解である。
従って、[2sin^2(t)+3sin(t)-1]=0 を解いて、sin(t) を求める必要がある
sin(t)=x とすると
2x^2+3x-1=0 → x=[-3+/-√(9+9]/4=sin(t)
0<t<π/2 という条件があるので、0<sin(t)<1 従って、+項が解で
sin(t)=(3/4)[-1+√2] この時、体積の式は極致を取る。
cos^2(t) = 1-sin^2(t) = 1-(9/16)[1+2-2√2]
= (16-27+18√2)/16 = (-11+18√2)/16
W = [sin(t)+1]^3/[sin(t)*cos(t)^2] に代入すると
W = (3/4)^3*[3+√2]^3/(3/4)[-1+√2]*[(-11+18√2)/16]
= 9*[3+√2]^3/[11-18√2-11√2+36]
= 9*[3+√2]^3/[47-29√2]
体積V=(π/3)*W としたので、これで体積は出ているのであり、
球の体積は、(4/3)π(1)^3=4π/3 であるので、比は、簡単に出てきます。
円錐の表面積は、π(r^2+h^2) に、2πr/[2π√(r^2+h^2)] をかけたもので
rもhも、上の式から出てくるので、自分で計算してください。
問題2)は、円形の紙の円の半径をRとします。円錐の底面の半径をrとします。中心角をtとします。rは次の式で表現されます:
2πr/2πR=t/2π → r=Rt/2π
円錐の高さhは、次の式で出てきます:
h^2+r^2=R^2
R=1としても問題の本質は変わらないので、こうします
h=√(1-r^2)
円錐の体積W=(π/3)h*r^2=(π/3)r^2[√(1-r^2)]
この極致を求めればよいので、Wをrで微分して、0と置きます。
面倒なので、自分で解いてください。
なお、以上の計算は、途中で計算間違いをしているかも知れません。もっと簡単な解になると思うので、変な答えになるのは、途中で計算を間違っているのかも知れません。
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
じゃ、私流の解き方を。
少なくとも、問題1.は計算難しくないですよ。時間がないので、説明不足な点が多くなりますが、ちょっと書いてみます。これだけ考え方はわかってもらえるでしょう。考え方は奇抜なところは1つもありません。
問題1.
まず、体積「比」および面積「比」を求めるので、球の半径を1としても問題なし。
考える立体をまっぷたつに切ると、底辺2r, 高さhの二等辺三角形に半径1の球が内接している図がかけます。(r,hは求める円錐の底面の半径および高さ)
ここで、二等辺三角形の頂点をA、底辺をBC、BCの中点をM、内接円の中心をIとし、IからABにおろした垂線の足をHとする。
△AIH∽△ABMでその相似比はIH:BM=1:r
ここでAI=h-1だから相似比を考えてAB=r(h-1)
△ABMで三平方の定理:r^2 + h^2 = {r(h-1)}^2 → r^2 = h/(h-2)(h>2は明らか)
円錐の体積:V=(1/3)πr^2*h = (1/3)π * h^2/(h-2)・・・ここまでなら中学生の問題。ただし微分を扱う高校生以上の場合、式でごりごり押し通そうとして、相似が見えなくなる可能性がありますが。
よって、dV/dh = (π/3) * h(h-4)/(h-2)^2
よって、V最小となるのは、h=4のとき(このときr=√2)で、V=(8/3)π・・・球の体積の2倍(終)
問題2.
もとの円の半径を1(としても問題なし)、切り取る中心角をx(ラジアン)とします。すなわち扇形の弧長はx。
ということは、求める漏斗は母線の長さが1、底面の半径がr=x/2πの円錐となります。
高さをhとおくと、r^2 + h^2 = 1 が成り立つ。
V=(1/3)πr^2*h より、V^2 = (π/3)^2*r^4*(1-r^2)(V>0なので、V^2の最大化を考えても必要十分)
ここで、V^2=v, r^2=u とでもおくと、v= C*u^2(1-u)(Cは定数)
dv/du=C*u(2-3u) よりu=2/3のときv最大→x=2π*√(2/3)のときV最大(終)・・・starfloraさんと全く同じ回答です。
。。。かわいげのない回答ですみません。(陳謝)
そのわりに、計算間違いとかしてると怖いのですが、考え方だけでも見てください。考え方には「自信あり」です。
最後に、FOX315さんはどのような切り口で解き崩そうとされたか、途中経過まででもお教えいただけるといいかな?と思います。(^^)
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