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数学の問題なのですが、教科書を読んでみてもいまいち理解できません・・・

問題は6問あるのですが、やはりぴんときません・・・

自然数、整数、実数全体の集合を、それぞれN,Z,Rとするとき、次の関係Sについて反射的か、対称的か、推移的か、そのいずれでもないかを述べよ

1 x,y∈R, xSy:x≦y
2 x,y∈N, xSy:x+yは偶数である
3 a,b∈N, aSb:ab>5
4 a,b∈N, aSb:aはbの約数である
5 a,b∈N, aSb:a<b
6 (x,y),(a,b)∈R×R,(x,y)S(a,b):x≦y,y≦b

1に関しては、反射的、推移的であるが、対照的でない、という解答(1≦2だが2≦1ではない)で良いのでしょうか。

よろしくお願いします。

A 回答 (1件)

反射的、対称的、推移的の定義は正しく理解できていますか?


定義が満たされるかどうかをチェックすればよいです.(満たされているならその証明,そうでないなら判例を挙げればOK)
1番はjuniorjuniorさんの解答であっています.
では、試しに2番をやってみましょう.

∀x,y,z∈Nに対し,
xSxは成立.(x+x=2z:偶数)
「xSy,ySz⇒xSz」は成立.(x+z=(x+y)+(y+z)-2y:偶数)
「xSy⇒ySx」は成立.(y+x=x+y:偶数)
よって,二項関係Sは反射的,推移的,対照的である.

他の問題も同様に出来ると思います.
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この回答へのお礼

詳しい解説をありがとうございます。

参考になりました。

お礼日時:2007/03/05 13:56

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Q最大元と極大元の定義の違いが分かりません

数学の基礎「齋藤正彦著」p22からの抜粋です。

定義
(X,≦)を順序集合,AをXの部分集合とする。
「1) aがAの元でAの全ての元xに対してx≦aが成り立つ時,aをAの最大元といい,maxAと書く,Aの全ての元xに対してa≦xが成り立つ時,aをAの最小元といい,minAと書く。最大元や最小元は存在するとは限らない,あるとすれば一つしかない。
2) aがAの元で,Aのいかなる元xに対してもa<xとならない時,aを極大元という。x<aなるAの元が存在しない時,aを極小元という。極大元や極小元は存在しない事も有るし,沢山存在する事もある」

と定義が紹介されてるのですが最大元と極大元についてのこの文意
"aがAの元でAの全ての元xに対してx≦aが成り立つ"と"aがAの元で,Aのいかなる元xに対してもa<xとならない"
とは同値だと思います。
違いが分かりません。

一体,どのように違うのでしょうか?

Aベストアンサー

>最大元と極大元の定義の違いが分かりません
最大元と極大元は抽象的に考えても違いが分からなくて当然だと思います。ここは具体例で理解するのがよいと思います。

例はいろいろ考えられますが、たとえば、(x,y)∈R^2について、
(x1,y1)≦(x2,y2)をx1≦x2かつy1≦y2と定義します。
A={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)}
のとき、Aの最大元は存在しませんが、極大元は3個あります。ちなみに最小限は(0,0)の1個ですね。

ところで、最大元が存在する場合は、全順序集合、半順序集合に関係なく、それは極大元でもあります。しかし、その逆は成り立ちません。
その意味で、「同値」ではありませんね。

Q単射 全射 全単射 について教えてください

タイトルの通り、単射 全射 全単射についていまいち納得できないので教えてください。

今、手元に問題が5つあるのですが


自然数、整数、実数全体の集合をそれぞれN,Z,Rとする。

(1)f:Z→N f(x)=x2(二乗)
(2)f:R→R f(x)=2x(x乗)
(3)f:R→R f(x)=sinx
(4)f:Z→R f(x)=x3(三乗)
(5)f:R→R f(x)=2x+1

例えば、(1)であれば 
Zが1のとき、Nは1、Zが2のとき、Nは4という風にZが決定すればNはただひとつ必ず決まるから単射。
でも、Zが2のときは、Zは1とも-1ともいえるので全射ではない、ということなのでしょうか。
全単射、というのはそうするとどういった状態を言うのでしょうか・・・

それぞれの問題も全くちんぷんかんぷんです。
どうか教えてください。

Aベストアンサー

(1) f: Z→N, f(x) = x^2
 x = 1,-1 に対し f(x) はどちらも 1 ですから,単射ではありません.
 また N の元 2 に対する Z の元が存在しない (f(x) = 2 になるような整数がない) ため全射でもありません.
 
(2) f: R→R, f(x) = 2^x
 f(x) は単調増加ですから単射といえましょう.つまり x = 5 が与えられたら f(5) = 32 ですし,f(x) = 32 が与えられたらそのような x は 5 しかありません.
 また全射ではありません.R への写像となっていますが,f(x) = 0 や負になるような x がないからです.
 
(3) f: R→R, f(x) = sin x
 sin x は周期関数ですから,たとえば x = 0,π,2π,... と無限に多くの x に対し f(x) が同じ値になります.だから単射ではありません.
 また sin x は -1 から 1 の値しかとりませんから,R の上に全射でもありません.
 
(4) f: Z→R, f(x) = x^3
 f(x) が単調増加ですから単射です.つまり一つの f(x) に対してもとの x が二つ以上定まるということはありません.
 また f(x) = 2 なる x も Z にはないので全射でありません.
 
(5) f: R→R, f(x) = 2x +1
 全単射です.f(x) は単調に全実数をわたるから単射かつ全射です.

(1) f: Z→N, f(x) = x^2
 x = 1,-1 に対し f(x) はどちらも 1 ですから,単射ではありません.
 また N の元 2 に対する Z の元が存在しない (f(x) = 2 になるような整数がない) ため全射でもありません.
 
(2) f: R→R, f(x) = 2^x
 f(x) は単調増加ですから単射といえましょう.つまり x = 5 が与えられたら f(5) = 32 ですし,f(x) = 32 が与えられたらそのような x は 5 しかありません.
 また全射ではありません.R への写像となっていますが,f(x) = 0 や負になるような x がないからです.
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Qタンジェントとアークタンジェントの違い

タンジェントとアークタンジェント、サインとアークサイン、コサインとアークコサインの違いをすごく簡単に教えてください。

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みたいな感じです。

お願いします!教えてください!!

Aベストアンサー

#1です。
A#1の補足について
普通の有限項和のΣではもちろんできることは積分の定義から明らかですのでA#1のように回答したわけです。
漠然とした一般的な質問では一般的な回答しか得られません。

無限項和の特別なケースの場合などについての回答を得たければ
>出来ない場合もあって、交換したら答えが異なるケースがあったんで
このケースの具体的な式や例をあげて、こういう場合は交換できませんか?
この交換での式変形はあっていますか?
特に積分の範囲やΣの和の範囲を明記して、有限範囲なのか、無限範囲なのかも明記する
などして質問を投げないと希望するような回答は得られませんよ。
特に、特異なケースも含めた一般論の回答は特に難しいですから(現在も解決していない特異なケースも含まれる可能性もあるので)。

また、どの程度(高校レベル、大学レベル、それ以上の大学院や専門家レベル)での回答を求められているか、回答者には分かりませんし、
質問者に理解できないレベルの回答をしても意味がないですから。

有限と無限の間には、簡単に有限で成り立つ法則が必ずしも、無限では成り立たない(適用できない)ケースがしばしば現れますから。。。

#1です。
A#1の補足について
普通の有限項和のΣではもちろんできることは積分の定義から明らかですのでA#1のように回答したわけです。
漠然とした一般的な質問では一般的な回答しか得られません。

無限項和の特別なケースの場合などについての回答を得たければ
>出来ない場合もあって、交換したら答えが異なるケースがあったんで
このケースの具体的な式や例をあげて、こういう場合は交換できませんか?
この交換での式変形はあっていますか?
特に積分の範囲やΣの和の範囲を明記して、有限範囲なのか、...続きを読む

Q離散数学に関する問題 -二項関係、合成関係-

問(2)が分かりません
『以下の問に答えよ
問(1) A={ 1, 2, 3, 4, 5 }, B={ 1, 2, 3, 4 }とし、関数f : A → B を全射とする。 f に対して5×4行列Mを以下のように定める。
   M の第(i, j)要素 = 1 … f(i) = j のとき
   M の第(i, j)要素 = 0 … f(i) ≠ j のとき
この行列Mの一部の要素を空欄□に置き換えたものが下図(添付図)で表されたとする。
このMの空欄を全て埋めよ。

問(2) 集合A、Bは前問と同じとし、C={ 1, 2, 3 }とする。二項関係 S ⊂A×B と T⊂B×C を次のように定める。
   aSb <=> f(a) = b
   bTc <=> b > c+1
この時,関係Tを具体的に示せ。また、SとTを合成した二項関係 S○T を具体的に示せ。但し、合成関係 S○T は
   a(S○T)c <=> ある b∈B が存在して、aSb かつ bTc
によって定義される。 』

(1)は
関数f : A → B を全射としているので、行列M は
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
となる。
f(1)=2, f(2)=3, f(3)=4, f(4)=1, f(5)=2,

(2)は
S= { (1,2), (2,3), (3,4), (4,1), (5,2) }
T= { (3,1), (4,1), (4,2) }         (S、T に関して解答に自信がありません)

SとTを合成した二項関係 S○T が分かりません。
そもそもSとTを合成した二項関係 S○Tは存在するのでしょうか?

S○T の順序対は{ (2,1), (3,1), (3,2) } となると思います。

どなたか分かる方、教えていただけますと大変助かります。
どうかよろしくお願いします。

問(2)が分かりません
『以下の問に答えよ
問(1) A={ 1, 2, 3, 4, 5 }, B={ 1, 2, 3, 4 }とし、関数f : A → B を全射とする。 f に対して5×4行列Mを以下のように定める。
   M の第(i, j)要素 = 1 … f(i) = j のとき
   M の第(i, j)要素 = 0 … f(i) ≠ j のとき
この行列Mの一部の要素を空欄□に置き換えたものが下図(添付図)で表されたとする。
このMの空欄を全て埋めよ。

問(2) 集合A、Bは前問と同じとし、C={ 1, 2, 3 }とする。二項関係 S ⊂A×B と T⊂B×C を次のように定める。
   aSb ...続きを読む

Aベストアンサー

S= { (1,2), (2,3), (3,4), (4,1), (5,2) }
T= { (3,1), (4,1), (4,2) } 
書き換えると
1S2,2S3,3S4,4S1,5S2
3T1,4T1,4T2
この中でaSbかつbTcの形になってるものがあればそれがa(S○T)c

Qボタンクリック後パネルを再描画repaintしたい

ボタンをクリック後にstaticで保持していた値にプラス1して
その値をパネルに再描画したいと思っています。
下記のプログラムだとボタンをクリックすると
(<1<2<3<4)となって画像と数字が増えてしまいます
行いたいのは数字の部分だけが再描画されて
カウントされて<3と表示されるだけになってもらいたい


クラス1つ目

import java.awt.BorderLayout;
import java.awt.Cursor;
import java.awt.event.MouseEvent;

import javax.swing.ImageIcon;
import javax.swing.JFrame;
import javax.swing.JLabel;
import javax.swing.JPanel;


public class Sample extends JFrame{
static int value=1;
JPanel work = new JPanel();
public static void main(String[] args) {
Sample frame = new Sample();
frame.setDefaultCloseOperation(JFrame.EXIT_ON_CLOSE);
frame.setBounds(100, 200, 200, 100);
frame.add(frame.createPanel(), BorderLayout.LINE_END);
frame.setVisible(true);
}
public JPanel createPanel() {

ImageIcon icon = new ImageIcon("./img/left.gif");
JLabel label = new JLabel();
Cursor c = new Cursor(Cursor.HAND_CURSOR);
label.setCursor(c);
label.setIcon(icon);
JLabel strLabel = new JLabel();
String str = Integer.toString(value);
strLabel.setText(str);
work.add(label);
work.add(strLabel);
label.addMouseListener(new myListener());
return work;
}
class myListener extends MouseAdapter{
public void mouseClicked(MouseEvent e){
System.out.print(Sample.value++);
createPanel().repaint();
setVisible(true);
}
}
}


クラス2つ目
import java.awt.event.MouseEvent;
import java.awt.event.MouseListener;

public class MouseAdapter implements MouseListener{
public void mouseClicked(MouseEvent e){}
public void mouseEntered(MouseEvent e){}
public void mouseExited(MouseEvent e){}
public void mousePressed(MouseEvent e){}
public void mouseReleased(MouseEvent e){}
}

ボタンをクリック後にstaticで保持していた値にプラス1して
その値をパネルに再描画したいと思っています。
下記のプログラムだとボタンをクリックすると
(<1<2<3<4)となって画像と数字が増えてしまいます
行いたいのは数字の部分だけが再描画されて
カウントされて<3と表示されるだけになってもらいたい


クラス1つ目

import java.awt.BorderLayout;
import java.awt.Cursor;
import java.awt.event.MouseEvent;

import javax.swing.ImageIcon;
import javax.swing.JFrame;
import javax.swing....続きを読む

Aベストアンサー

>class myListener extends MouseAdapter{
>createPanel().repaint();

createPanelでパネルを新規作成してrepaintしていますから、そういった動作になると思います。
labelをクラス変数として保持して、そこに設定するのが簡単だと思います。

Q大学院別のTOEICの合格点を教えてください。

大学院入試でTOEICの点数を英語の点数として換算している大学院が多くあると知ったのですが大学院別にどのぐらいが合格点なのでしょうか?
東大の院生の平均点が730というデータはネットでみたのですが他のいろいろな大学院について教授からや友達からの情報でもいいので参考にさせてください。

Aベストアンサー

このサイトに、大学院入試でTOEIC(R)Testを活用する52の大学院が、
国公立、私立別で掲載されており、
ある一定のスコアで、英語の独自試験免除など、詳しい情報が見れます!

参考URL:http://www.toeicclub.net/graduateschool.html


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