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No.2
- 回答日時:
ご存知かもしれませんが、集合論ではS上の2項関係とは、S×S(直積)の部分集合であることに注意しましょう。
Rが二項関係の時、aRb は(a,b)がRの元になっているということです。そうすると、反射的とは、対角成分をもつということ。
対称的は、n×nのマスの対角線についてRが線対称になってるということです。
例えば、1だけ関係を持たせたいとしたら、R={(1,1)}とすれば、反射的かつ対称的です。
1と2にだけ関係を持たせたいとしたら、R={(1,1) (2,2) (1,2) (2,1)}とすれば良いです。
Sから、何か(自身を含む)と関係をもたせるものとして、k個選んできます。(nCk通り)
k=1のときは、反射的、かつ対称的な関係は、最初に挙げた例のようにするしかありません。
kが2以上の時
選んだもの全体を、便宜的にXとします。
反射的にするために、Xの各元xについて対角成分(x,x)をとります。これでXのどの元も自身と関係を持ったことになります。
次に異なる元との関係について。つまり対角成分以外のものをどうとるかということになります。対角線について対称になるようにするので、
対角線より上のところ、x<yな(x,y)をどう選ぶかです。(対角線の下で考えてもOK)そのような成分は全部でkC_2 個あります。このなかから、好きなものを好きなだけ取ってくればよいので、その取り方は2^{kC_2}通りです。ここで取ってきた成分(x,y)と、それをひっくり返した成分(y,x)と、最初にとった対角成分、全部足し合わせた集合が、反射的かつ対称的な関係になります。
Σ_{k=2 からnまで}nCk × 2^{kC_2} + n
これが求める個数になるかと(空集合も二項関係としているなら、更に+1)。この式がもっと整理できるかはわかりません・・・
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