文字でおく意味

高校数学(1)の質問です。
「ｘの方程式ｘ＾２－(ｋ－３)ｘ＋５ｋ＝０、ｘ＾２＋(ｋ－２)ｘ－５ｋ＝０が
共通解をもつように定数ｋの値を定め、その共通解を求めよ。」
という問題はよく見かけ、解答の書き出しは、共通解をαとおくと……とし、
αとｋの連立方程式を解いていく……。解き方はわかるのですが、αとおく意味が
いまいちわかりません。つまり、ｘそのままで、ｘとｋの連立方程式とみても、
同じ答えがでるわけで……。しかし、どの参考書をみても、共通解をαとおくと、
から始まっているので何かｘそのままではいけない理由があると思っています。
詳しい方その理由を教えてください。

No.7 回答者： aster 回答日時： 2002/06/05 19:55

　

別にαに置かねばならない理由はありません（下で述べているように、ａでもＡでも構いません）。ただ、方程式の変数ｘのままでは問題なのです。

二つの二次方程式について、それらの解のなかで、「共通な値」の解、つまり「共通解」を求めよという問題です。

すると、これは「解」の話です。普通、方程式を解くと、よってｘ＝２．５とか、ｘ＝４+/-√５　とかいう風に「具体的数値」になります。解は、もはやｘという何か分からない、方程式でその値が決まる変数ではないのです。

そこで、共通解について、まだどういう値か分からないので、なお「変数」なのですが、「解として、すでに或る特定の数」だということを表現するため、別の記号を使うのです。

これを、ｘのままにすると、最初の方程式で使われたｘとの混同が起こります。実は変数でも別の意味の変数だからです。

αの代わりにａとか置いても構わないのです。ｘでなければ問題はないのです。

ただ、方程式の解は、普通、α，β，γなどの記号を使います（これは三次方程式ですが）。

そこで、解であるので、どの参考書も、共通解を表す文字記号として、αを使っているのでしょう。
　

No.6 回答者： stomachman 回答日時： 2002/06/05 02:53

「ｘの方程式ｘ＾２－(ｋ－３)ｘ＋５ｋ＝０、ｘ＾２＋(ｋ－２)ｘ－５ｋ＝０が

共通解をもつように定数ｋの値を定め、その共通解を求めよ。」

例えば、「xの方程式(x-1)(x-2)=0の解」は、集合{1,2}を表しています。
同様に、「sの方程式(s-1)(s-2)=0の解」は、集合{1,2}を表しています。
方程式の変数の文字が何であろうと、解は同じです。このことを頭に入れて、ちょっと丁寧な書き方をしてみると事情がはっきりすると思います。

(1)P(k) = {x | x^2-(k-3)x+5k=0}とする。
(2)Q(k) = {x | x^2-(k-2)x-5k=0}とする。
(3) 共通解とは、R(k)= P(k)∩Q(k) の要素のことである。（共通解が１個とは限らない）
R(k)={x| x^2-(k-3)x+5k=0 ∧ x^2-(k-2)x-5k=0} （∧は"and"です）
である。R(k)が空集合でないと仮定すると、
(4) R(k)の任意の要素をxとするとき、
x^2-(k-3)x+5k=0 ∧ x^2-(k-2)x-5k=0
従って
x^2-(k-3)x+5k=x^2-(k-2)x-5k
だから
x=-10k
これをx^2-(k-3)x+5k=0に代入すると
(110k-25)k=0
これを解いて
k∈{0,5/22}
そして
R(k)={x| x=-10k}
よって、k∈{0,5/22}のとき、そのときに限りR(k)は空集合ではない。
ゆえにk=0ならx=0, k=5/22ならx=-25/11。

という風に書けば、(1)～(4)で使われている文字xの意味がそれぞれ違うことが分かるでしょうか。(1)(2)(3)に出てくるxは、それぞれの集合を表す{…}の中でだけ有効です。(4)ではxはR(k)の要素のひとつを表しているに過ぎません。だから、(1)(2)(3)(4)のxをそれぞれ全く別の文字に変えても、何の影響もありません。しかしkは、(1)(2)(3)(4)で全て共通でなくては意味がないから、勝手に変えることはできない。
具体的にやってみましょうか。

(1)P(k) = {p| p^2-(k-3)p+5k=0}とする。
(2)Q(k) = {q | q^2-(k-2)q-5k=0}とする。
(3) 共通解とは、R(k)= P(k)∩Q(k) の要素のことである。（共通解が１個とは限らない）
R(k)={r| r^2-(k-3)r+5k=0 ∧ r^2-(k-2)r-5k=0}
である。R(k)が空集合でないと仮定すると、R(k)の任意の要素をαとするとき、
α^2-(k-3)α+5k=0 ∧ α^2-(k-2)α-5k=0
従って
α^2-(k-3)α+5k= α^2-(k-2)α-5k
だから
α=-10k
これをα^2-(k-3)α+5k=0に代入すると
(110k-25)k=0
これを解いて
k∈{0,5/22}
そして
R(k)={α| α=-10k}
よって、k∈{0,5/22}のとき、そのときに限りR(k)は空集合ではない。
ゆえにk=0ならα=0, k=5/22ならα=-25/11。

という訳で、αを使わねばならない理由などありません。
　しかし、方程式の解を集合としてきちんと書かないで、ムキダシの式だけ書く習慣がある（もちろんその方が書く手間が少なくて能率が良いのですが）ので、特に(3)で言うxと(4)で言うxを区別したくなる。そういうことに過ぎないんです。

No.5 回答者： Rossana 回答日時： 2002/06/05 00:52

この説明なら納得できるでしょうか？

ｘの方程式
ｘ＾２－(ｋ－３)ｘ＋５ｋ＝０
　　　　　　　　と
ｘ＾２＋(ｋ－２)ｘ－５ｋ＝０
は「共通解をもつように定数kの…」という条件を与えない限りxに関して全く独立した方程式です。

この問題をもっと分かりやすく書くと
「それぞれ互いに独立した変数XとYに関する二次方程式
X^2-(k-3)X+5k=0とY^2+(k-2)Y-5k=0が共通解をもつように定数ｋの値を定め、その共通解を求めよ。」
となります。
共通解という条件を与えることで本来全く無関係だったXとYの間に一つの関係X=Yが生まれるわけです。
そこで、この共通になった変数をαとして、
二つのX,Yに関して独立した方程式が同じ変数αをもつ従属の関係にある方程式に生まれ変わるわけです。

No.4 回答者： wolv 回答日時： 2002/06/05 00:46

たとえば、共通解をαとすると、

はじめの式の解がα、β、
次の式の解がα、γのようになり、
βとγは一般には違う値になります。

ｘのままで解くと
共通解と、共通ではないのこり二つの値（βとγ）
の関係がややこしくなるので、特に共通解を別の文字で表すのだと思います。

No.3 回答者： Mell-Lily 回答日時： 2002/06/05 00:40

数学の解答においては、論理性、すなわち、きちんと筋が通っていること、また、客観性、すなわち、誰から見ても明らかであることが重要です。

論理に飛躍があるような解答や、考え方が不明瞭であるような解答は、減点の対象になります。
この問題の場合、実質的にはｘとｋの連立方程式を解くことと同じなのですが、「αとおいて…」という解答は、筋が通っていて自然な解答です。ｘとｋの連立方程式と見なして解きたいならば、その旨を明示する必要があります。

No.2 回答者： acacia7 回答日時： 2002/06/05 00:35

問題を解く間において、ｘは「変数」であって、

特に問題文中で示されない限り、任意の値を取るわけです。

これに対し、「α」とされるのは
「不明であるが、何らかの条件に束縛された値」
なのです。

その差を明確にする為に、ｘをαに置きかえるのです。

No.1 回答者： juni602 回答日時： 2002/06/05 00:32

私も高校生の時に同じような疑問を持ちました．自分なりになんとなく納得した考え方は，「Xは変数であり，あらゆる数である可能性をもつ」

のに対し，「αは共通解なので，定まった数である」という違いがあるように思えます．間違ってたらすいません．