三角関数の極限

次の極限値は存在するか。存在するときはその値を求めよ。
(1)lim[x→0]sin(1/x)
(2)lim[x→0]xsin(1/x)
(3)lim[x→∞]sin(1/x)

答えはそれぞれ、存在しない、0、0なのですが、理由が全く分かりません。
(1)では存在しなかった極限がsinの前にxがつくだけで極限値を持つことや、同様にx→0が x→∞に変わっただけで極限値を持つことが理解できません。
lim[x→∞]sinxθ/x
であれば、はさみうちの原理を利用すれば解けるのですが、この問題はどう解いたらよいのか分かりません。
教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： root51 回答日時： 2007/05/12 17:24

(1)lim[x→0]sin(1/x)

lim[x→0]sin(1/x)ということは、t=1/xとおいて
lim[t→∞]sintの値、すなわちsin（∞）の値ということですよね。
sinのグラフを書いてみてください。
sinのグラフは振動しますから、∞の極限でどの値をとるのか決定できません。
よって極限は存在しないといえます。

(2)lim[x→0]xsin(1/x)
lim[x→0]sin(1/x)の極限は存在しないと書きましたが、
グラフから-1＜lim[x→0]sin(1/x)＜1の有限の値であると言えますね。
一方lim[x→0]xは当然０ですから、
０×（有限の値）ということでlim[x→0]xsin(1/x)＝０となります。
答案としては、|sin(1/x)|＜1を利用すればいいでしょう。

(3)lim[x→∞]sin(1/x)
これはつまり、t=1/xとおいて
lim[t→0]sin(t)と同じことです。つまりsin0ですから、０ですね。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
こんなに早く回答をいただけるとは思いませんでした。
詳しい説明ありがとうございました。

お礼日時：2007/05/12 18:11

No.3 回答者： 52blz 回答日時： 2007/05/12 17:34

大学受験以来ほとんど数学に触れていない素人ですが、感覚的に述べたいと思います。

あまり数学的じゃないかもしれません。
sinXという関数はただ-1～1の間を延々と振動しているだけなので、X→∞にしても収束しないのは分かると思います。X→(-∞)でも同様です。X→0の時はもちろんsin0=0です。

(1)x→0のとき、1/xは→∞ですよね。上に書いたのと同じ理由で、収束しないので「存在しない」だと思います。

(2)z=1/xとしてみましょうか。
lim[z→∞](1/z)sin(z) としてみると分かりやすいかもしれません。
sin(z)の部分は振動しているだけです。(1/z)の部分は、その振動の大きさ(振幅)といえます。zが∞に近づくにつれて(1/z)は0に収束されるので、波が小さくなって最後にはなくなる(=0)というイメージですよね。

(3)同じように,z=1/xとしてみると
lim[z→0]sin(z)=0になると思います。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
感覚的に解けるなんてうらやましい限りです。参考になりました。

お礼日時：2007/05/12 18:27

No.2 回答者： cyber-poem 回答日時： 2007/05/12 17:27

(1)t=1/x

とおけばlim[t→±∞]sin(t)これは、もちろん振動しますね？正弦波なので
よって、極限値はなく
(2)にもどうようにt=1/xとおくと
lim[t→±∞]sin(t)/tこのときは分子は振動しますが分母はとてつもなく大きな数になりますね？よって0
(3)1/x=tとおくと
lim[t→+0]sin(t)=0
って感じじゃないですか？

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
置き換えるのが一般的なのですね。自分はずっと問題とにらめっこしてました。

お礼日時：2007/05/12 18:18