三角関数の公式 n倍角の公式の変形

nを0以上の整数とするとき、

2^n cos^(n+1) θ
= cos (n+1)θ + Σ[k=1,n] 2^(n-k) cos^(n-k) θ cos (k-1)θ

2^n cos^(n) θ sin θ
= sin (n+1)θ + Σ[k=2,n] 2^(n-k) cos^(n-k) θ sin (k-1)θ

が成り立つらしいのですが、どう証明したらよいのでしょうか？

なお、n=1とおくと、
2 cos^(2) θ = cos 2θ +1 ,
2 cos θ sin θ = sin 2θ
となり、２倍角の公式になります。
ただし、Σ[k=2,1](*)=0 です。
n=2とおくと、３倍角の公式になります。

No.2 ベストアンサー 回答者： tarame 回答日時： 2007/06/26 18:42

こういう問題は、数学的帰納法を使いましょう。

2^(n+1)cos^(n+2)θ＝2cosθ×2^ncos^(n+1)θ
＝2cosθcos(n+1)θ+Σ[k=1,n]2^(n+1-k)cos^(n+1-k)θcos(k-1)θ＝☆
積⇔和の公式により
2cosθcos(n+1)θ＝cos(n+2)θ＋cos(nθ) であり
cos(nθ)＝2^{n+1-(n+1)}cos^{n+1-(n+1)}θcos{(n+1)-1}θ だから
n+1のときも成り立つことが証明できました。

この回答へのお礼

まことにありがとうございます。

お礼日時：2007/06/28 10:57

No.1 回答者： noname#101087 回答日時： 2007/06/25 09:19

倍角の公式については、例えば下記ページ(チェビシェフ多項式関連)などが参考になるでしょう。

説明しきれません。まずは、ご一覧ください。

-------------------------------------
　http://ufcpp.net/study/digital_filter/chebyshev. …

　http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/inequalit …
からリンクして、
　http://www10.plala.or.jp/rascalhp/math.htm#5

この回答へのお礼

まことにありがとうございます。

お礼日時：2007/06/28 10:58