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No.5ベストアンサー
- 回答日時:
対角成分以外の基底は明らかなので、以下では対角成分のみ考えます。
対角成分を除いた次元は(n^2)-nです。
n=2のとき、対角成分の基底はM{(1,0),(0,-1)}です。
これはa11+a22=0からa22=-a11,すなわち、対角成分はa11,-a11
となることからわかります。
n=3のときはa11+a22+a33=0,a33=-a11-a22これを並び替えて
a11+a22+a33=(a11-a11)+(a22-a22)、これから推定して基底は
M{(1,0,0},(0,-1,0),(0,0,0)},M{(0,0,0),(0,1,0),(0,0,-1)}
の2つになります。これらの基底のTrは自動的に0となり、
独立であることも明らかです。
一般の場合に考えればよいと思います。これは線型代数の本に載っています。
No.4
- 回答日時:
一応乗りかかった船ということで。
間違えた回答だけというのもあれなので。
「n次正方行列」を「n^2次元ベクトル」と考えます。
単純にはn^2次元ベクトルに対して、Tr(V)=0という一個の方程式が与えられたので、次元が1つ下がってn^2-1次元となると考えられます。
n^2次元ベクトルの標準基底をeij (i=1~n、j=1~n)とすれば、
任意のn^2次元ベクトルはa=ΣAij eij∈Vで表される。
eijを行ベクトルとする行列Eを考えれば、a=EA=A
∴Rank(E)=n^2
Tr(b)=0であるような任意のベクトルb=FB∈Wとあらわされるとする。
今Tr(b)=0よりΣBii=0 (i=1~n)ですから、Bnn=ΣBii (i=1~n-1)
つまり、
Fのij行=eij (i=n&j=nを除く)
Fのnn行=Σeii (i=1~n-1)
∴Rank(F)=n^2-1
----------------------------------
もっとスマートに示せないものなんでしょうか・・・・。
No.3
- 回答日時:
単純に、n×n 正方行列全体の空間 V の部分空間 W の基底を求めるだけでしょ。
まず、V の基底はわかりましたか? W は V の中の「平面」ですよね。
もっと言えば、 Tr : V -> K の核が W ですね。
# V の要素が行列であることは忘れましょう。
No.2
- 回答日時:
ぁぁ、申し訳ありません。
回答ボタン押してから、質問者さんの質問の意味を取り違えていたことに気がつきました。
どうも一度投稿した内容は消せないようで、申し訳ありません。
No.1
- 回答日時:
いろいろ考えたのですが、いったいどのような経緯でこのような問題に直面しているのでしょうか?
数学の問題集なのでしょうか?
Wという「トレース0のn次正方行列の集合」に対する一般論をしたいのでしょうか?
問1はいいとして、問2について一般論を展開するのは(少なくとも私には)無理のように思えます。
例えば、以下のような行列を考えます。
A=
(+1 +0)
(+0 -1)
B=
(+1 +1)
(-1 -1)
C=
(0 0)
(0 0)
A,B,Cのどれもトレースは0ですが、行列の次元(=Rank)はそれぞれ2,1,0です。基底ベクトルについても、性質などの多少の議論は出来ても「基底を求める」というのは、可能には思えないのですが。
それとも、Wの元が具体的に与えられた時に「どうやって基底や次元を求めればいいのか?」という質問なのでしょうか?
独立な列ベクトル(または行ベクトル)が何本取れるかを考えれば、次元が求まりますから、列(または行)基本変形をしていくのがひとつの手ではないでしょうか?
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97% …
基底に関しては、固有値&固有ベクトルの求め方を参考にするといいのではないでしょうか?
http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/nu …
うーん、そういう質問というわけでもないのでしょうか・・・。
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