出産前後の痔にはご注意!

 皆さん、こんにちは。今回は留数定理について聞きたいことがあるのですが問題は、
Cを円 |z+i|=2 とするとき留数定理を使って∫c {z^2・sin (1/z)}dz
を求めなさい。
 というものですが、私はこの時、(z^2)と{sin (1/z)}で部分積分を利用してとこうとしています。そこで、参考書やネットを通じて調べましたが、sin (1/z)の積分の仕方が今ひとつ理解できません。
どなたか、分かる方がいらっしゃれば幸いです。よろしく願います。

A 回答 (2件)

複素関数のテキストをよく読んでください。

sin (1/z)の不定積分がわからなくても、積分の値は求まります。というより、そのような便利な方法が留数定理です。

まず、sin(z)のマクローリン展開をもとにして、sin (1/z)の級数展開をしてください。この場合はローラン展開になり、負ベキの項が無限にある真性特異点になります。

しかし、周積分によって残るのは被積分関数の-1乗の項だけになるので、留数定理から求めるべき積分の値が出せます。

留数定理は、被積分関数のローラン展開がすぐにでできれば、積分らしい計算をしなくても積分できるのが特長です。
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{sin }を級数展開したほうが簡単と思います。

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