微分方程式の解の確認

　あまりにも大雑把な質問なんですが、「初期値問題」「変数分離系」「1・2階線形」の微分方程式の解を元の式に代入して、成り立てば、それが解だとしていいですか？　
やり方によってはｙが何通りもでてくると、試験のとき、どちらが正解なのか確認できればいいので。

No.2 回答者： Knotopolog 回答日時： 2007/07/17 18:05

「変数分離系」の微分方程式の一般解は，n階の微分方程式ならば n個の任意定数（積分定数）を含みます．n階の微分方程式で任意定数が n個以下（n-1個など）ならば，その解は「特殊解」となります．また，「一般解」や「特殊解」に含まれない解が，まれに存在することがあり，この解を「特異解」と言います．

「1・2階線形」の微分方程式の一般解は「1階線形」ならば １個の任意定数を含みます．「2階線形」ならば ２個の任意定数を含みます．任意定数を含まない「1・2階線形」の微分方程式の解はすべて「特殊解」となります．「1・2階線形」の微分方程式には「特異解」はありません．元の式に代入して、成り立てば、それが解だとしていいです．ただし，「一般解」「特殊解」「特異解」のいずれであるかを常に認識していれば間違いは無いと思います．

No.1 回答者： proto 回答日時： 2007/07/17 04:21

微分方程式に代入してみて成り立つような解は特殊解と呼ばれます。

この場合は任意定数を含んでなくても特殊解として立派に認められます。

微分方程式を満たす全ての解を求める問題ならば、特殊解だけでは不十分で適当な個数の任意定数を含んだ一般解でなければなりません。