円周率と円の直径？

ある円を書いたとして、その円の円周を測ったら、
（正確に測る手法は別にして）間違いなく、有限的なある決まった長さが数値としてでてきますよね。
たまたま、その円の直径が10センチとしたら、その有限的な数値である円周を直径で割った場合、必ず割り切れる有限の数値がでてくると思うのですが。
では、なぜ円周＝直径×円周率で使う円周率は、3.14.........と無限に続く数値なのですか？

No.12 回答者： Horus 回答日時： 2002/08/01 13:49

　エレアのゼノンが、飛んでいる矢は止まっているとか、アキレウスは亀に追いつけないとか言ったときに、ピタゴラス派の人たちはこれに対して明確な回答を与える事ができませんでした。

ピタゴラスが生きていれば何か言ったのかもしれませんが、・・・。
　そういうわけで、ユークリッドの幾何学には、全体は部分よりも小さく、部分は全体よりも小さいという、一見当たり前のような公理を載せざるを得なくなったと言う事です。（どこまでが本当か知りませんが、このような経緯はありえると思います。）
　しかし、例えば1/7も循環小数で無限に循環しますが、実際にあるいは幾何学的に分割できないと言う訳ではなく、数の体系上そうなるにすぎません。確認はしてませんが、一六進数や二〇進数ではまた別の循環数が表われるでしょうし、二進法では、そういうものはないでしょう。
　いずれにしましても、こういう公理の部分が犯されますと、数学自体が致命的な打撃を蒙ることになるかもしれません。

No.11 回答者： i536 回答日時： 2002/08/01 13:48

>では、なぜ円周＝直径×円周率で使う円周率は、3.14.........と無限に続く数値なのですか？

１７６１年にJ.H.Lambertが円周率が無理数であることを証明した、
と岩波数学辞典第２版P136に書いてあります。
したがって、それ以前までは円周率が無限に続く無理数なのかどうか
不明だったということです。

したがって、dekirubaさんのこの【なぜ】に答えるには結構数学の勉強が必要みたいですね。
円周率πが無理数であることを知識として知っている人は多いと思いますが、
dekirubaさんの【なぜ】に答えられるひとは少ないのではないでしょうか。
わたしも出来ません。

ちなみに、円周率をギリシャ文字πであらわすようになったのは、
オイラー(L.Euler 1707-1783）が、周を意味する、
ギリシャ語περίμετρος（ペリメトロス)の頭文字からとって、
使用してからだそうです。

No.10 回答者： infinity 回答日時： 2002/08/01 13:30

他の方がおっしゃってるように、

円周自体が有限的に小数表示できる数字として出ないんです。

１０÷３ってのはあくまで有理数÷有理数の提示ですので、
今回の直径とは無関係（＾＾；

No.9 回答者： ranx 回答日時： 2002/08/01 13:29

hinebotさんの回答（というか参照先）で正解なので、蛇足ですが、

有限の値をゼロ以外の有限の値で割った答は必ず有限な値になります。
有理数を有理数で割った答は必ず有理数です。
無理数はすべて有限な値です。
無理数を十進数等で表現した場合、無限に続く少数で表現されます。
円周率は有限な値です。
円周率は無理数です。

No.8 回答者： infinity 回答日時： 2002/08/01 13:27

＞３÷１０＝０.３です。

１０はどんな数字でも割り切れると思うのですが。

すみません、思いっきりミスです。
１０÷３の間違いです。

No.7 回答者： noname#12673 回答日時： 2002/08/01 13:12

測定には測定誤差というものがあります。

普通の定規でも1mmの幅以内の数値は測れないのと同じです。

だから、割りきれる数字が出てきても、それは真の円周率ではありません。
近い値にはなりますが。

で、円周率がなぜ無理数（少数が無限につづく数値）なのかは、私にはちょっとわかりません。コンピュータに計算させて、何万ケタと計算させることができるみたいですが、それはそのケタまでは割り切れないと言っているだけで、無理数である証明にはならないみたいです。

No.6 回答者： Chararara 回答日時： 2002/08/01 13:10

直径が10センチの円周を正確に計ったら、

おっしゃるように有限のある決まった長さになります。
それはだいたい31cmくらいです。
でも、もう少し正確に計ると31.4cmです。
さらにもっと正確に計ると31.41cm。
もっともっと正確に・・・とやってると、
31.4159265....cmとなります。有限だけど無理数、というわけです。

どんな大きさの円でも
円周の長さ÷直径はつねに同じ値になり、
でもきっちりとは割り切れない数なので、
それを円周率「π」（パイ）と呼んでるわけです。

No.5 回答者： hinebot 回答日時： 2002/08/01 13:05

こちらの質問者の方と同じ勘違いをされている様です。

５番目の回答を参照ください。

参考URL：http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=276702

No.4 回答者： infinity 回答日時： 2002/08/01 13:01

有理数÷有理数は必ずしも有理数ではありません。

３÷１０だって、小数表示では無限です。
(これはこれで循環小数ですけど。)

また円周が有理数で出せるとは限りません。
目盛りよりも細かい、さらに細かい…
√３っていう長さを測れないのと同じような感じです。
間接的に求めることは出来ますけど。

この回答への補足

３÷１０＝０.３です。１０はどんな数字でも割り切れると思うのですが。

補足日時：2002/08/01 13:05

No.3 回答者： ienzdy 回答日時： 2002/08/01 12:58

長さが有限的に決まってるものなんてないと思いますよ。