ｎ次導関数の求め方。

y=sin(3X+1)のｎ次導関数y~(n)の解き方なんですが、sinが入ってしまうとどうしても解き方がわからなくなってしまします。
どうすれば解けますか？

No.4 ベストアンサー 回答者： noname#57316 回答日時： 2007/11/16 00:27

sin(3X+1)は、e^{i・(3X+1)}の虚部に現れる関数です。

これを、Im[e^{i・(3X+1)}]と書きます。
すると、
y=Im[e^{i・(3X+1)}]
y'=Im[i・3・e^{i・(3X+1)}]=3・Im[e^(i・π/2)・e^{i・(3X+1)}]
y''=3^2・Im[e^(2・i・π/2)・e^{i・(3X+1)}]
y'''=3^3・Im[e^(3・i・π/2)・e^{i・(3X+1)}]
・・・・
∴ mを整数として、n=4mのとき
y(n)=3^n・Im[e^(i・2mπ)・e^{i・(3X+1)}]=3^n・Im[e^{i・(3X+1)}]=3^n・sin(3X+1)
n=4m+1のとき
y(n)=3^n・Im[e^{i・2mπ+i・(π/2)}・e^{i・(3X+1)}]=3^n・Im[i・e^{i・(3X+1)}]=3^n・cos(3X+1)
n=4m+2のとき
y(n)=3^n・Im[e^(i・2mπ+i・π)・e^{i・(3X+1)}]=3^n・Im[(-1)・e^{i・(3X+1)}]=-3^n・sin(3X+1)
n=4m+3のとき
y(n)=3^n・Im[e^{i・(2m+1)π-i・(π/2)}・e^{i・(3X+1)}]=3^n・Im[(-i)・e^{i・(3X+1)}]=-3^n・cos(3X+1)

No.3 回答者： info22 回答日時： 2007/11/15 13:15

y=y^(0)=sin(3X+1)

y'=y^(1)=3*cos(3X+1)
y''=y^(2)=-(3^2)*sin(3X+1)
y^(3)=-(3^3)*cos(3X+1)
y^(4)=(3^4)*sin(3X+1)
y^(5)=(3^5)*cos(3X+1)
…
…
y^n={(-1)^(n/2)}*(3^n)*sin(3X+1) (nが偶数のとき）
y^n=[(-1)^{(n-1)/2)}]*(3^n)*cos(3X+1) (nが奇数のとき）

となります。
（証明が必要なら「数学的帰納法」でやって下さい。）

No.2 回答者： Meowth 回答日時： 2007/11/15 10:53

y=sin(3X+1)

y=[e^{i(3X+1)}-e^{-i(3X+1)}]/2i
y'=[i*3e^{i(3X+1)}-(-i)*3e^{-i(3X+1)}]/2i
y''=[i^2*3^2e^{i(3X+1)}-(-i)^2*3^2e^{-i(3X+1)}]/2i
...
y(n)=[i^n*3^ne^{i(3X+1)}-(-i)^n*3^ne^{-i(3X+1)}]/2i
=i^n*(3^n)[e^{i(3X+1)}-(-1)^n*e^{-i(3X+1)}]/2i
nが奇数のとき
=i^(n-1)*(3^n)[e^{i(3X+1)}+e^{-i(3X+1)}]/2
=i^(n-1)*(3^n)cos(3X+1)
=(3^n)cos(3X+1) [mod(n,4)=1]
=-(3^n)cos(3X+1) [mod(n,4)=3]
nが偶数のとき
=i^n*(3^n)sin(3X+1)
=(3^n)sin(3X+1)[mod(n,4)=0]
=-(3^n)sin(3X+1)[mod(n,4)=2]

No.1 回答者： yhposolihp 回答日時： 2007/11/15 07:49

y~(0)=sin(3x+1)

y~(1)
=(3^1)cos{(3x+1)}
=(3^1)sin{(3x+1)+1*(π/2)}

y~(2)
=(3^2)cos{(3x+1)+1*(π/2)}
=(3^2)sin{(3x+1)+1*(π/2)+(π/2)}
=(3^2)sin{(3x+1)+2*(π/2)}

y~(3)
=(3^3)cos{(3x+1)+2*(π/2)}
=(3^3)sin{(3x+1)+2*(π/2)+(π/2)}
=(3^3)sin{(3x+1)+3*(π/2)}

・・・

y~(n)
=(3^n)sin{(3x+1)+n*(π/2)}

とはなりますが、
これは、類推に過ぎないので、
証明を要するのであれば、
数学的帰納法で・・・。