自然数の累乗の和の公式（Σ）

こんばんは。高校数２　自然数の累乗の和の公式　（Σ）について質問します。
　　　　　　　　　　　　　　　　 n
(1)３＋３＋３＋・・・＋３＝Σ３＝３ｎ
　　（↑３がｎ個）　　　　　　k=1
とのことですが、証明（説明）することはできるのでしょうか？

(2)　n　　　　　 　 ｎ
　　(Σk)の２乗と,Σk^3の結果は同じですが、これは説明できますか？
　　k=1 　 　　　 k=1

　初歩的な質問かもしれません。
　参考書を読みましたが、(1)については説明がなく、また、(2)についてはΣk^2やΣk^3の証明が複雑そうなので、公式として結果だけを暗記すればよいのか、他にもう少し分かりやすい考え方がないかどうかを知りたいので質問します。
　よろしくお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： noname#47894 回答日時： 2007/12/12 23:11

>　ｎ＝Σ１ということがいまひとつピンときません・・・

１を３個足したら３になるし、３６５個足したら３６５になるんですから、１をｎ個足したらｎになるという意味です。これが成り立たないようだと、そもそも数が数えられないと思いますが。

＞＞（初項ｎ（ｎ+１）＋１、公差２、項数ｎの等差数列の和を求めてみてださい）

＞↑　S＝ｎ/2[｛ｎ（ｎ－１）+１｝+（ｎ－１）×２]
＞＝ｎ/２｛ｎ^2－ｎ＋１＋2ｎ－2｝
＞　　 ＝ｎ/2｛ｎ^2＋ｎ－１｝
＞　　 ＝（n^3＋ｎ^2－ｎ）/2　　ですよね？

これはN0.3で訂正しています。
また、公式を正しく記憶していないようですが、S＝n/2（「2」a＋(n-1)d）ですよ。
初項（ｎ－１）ｎ－１、公差２、項数ｎの等差数列の和を求めると、

S＝ｎ/2[２｛ｎ（ｎ－１）+１｝+（ｎ－１）×２]
＝ｎ[｛ｎ（ｎ－１）+１｝+（ｎ－１）]（約分）
＝ｎ[｛ｎ^2－ｎ+１+ｎ－１]
＝n^3

1^3＝１
2^3＝３＋５
3^3＝７＋９＋１１
4^3＝１３＋１５＋１７＋１９
．．．
n^3＝｛（ｎ－１）ｎ＋１｝＋.....＋｛（ｎ（ｎ+１）－１｝
なので、
Σk^3＝１＋（３＋５）＋（７＋９＋１１）＋（１３＋１５＋１７＋１９）＋．．．＋｛（ｎ－１）ｎ＋１＋.....＋（ｎ（ｎ+１）－１｝

よって、n^３乗の和は、１から　ｎ（ｎ+１）－１　までの奇数を足したものに等しいです。

奇数を足す場合は、以下のような配列で考えると、計算がしやすいのですが、
○●▲○△□●▲■◆
●●▲○△□●▲■◆
▲▲▲○△□●▲■◆
○○○○△□●▲■◆
△△△△△□●▲■◆
□□□□□□●▲■◆
●●●●●●●▲■◆
▲▲▲▲▲▲▲▲■◆
■■■■■■■■■◆
◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆

左上から、○が１、●が３、▲が５、○が７、△が９、□が１１、●が１３、▲が１５、■が１７、◆が１９...と奇数個で並べていくと、正方形上に○等をを並べることができます。
あとは、１＋（３＋５）＋（７＋９＋１１）＋...のようにグループに区切っていくと、（この図では白抜きと塗りつぶしで表現しています）、横も縦も１＋２＋３＋．．．＋ｎ個になります。

どうしてもわからないのなら、自分で図を書いて、ｎを一つずつ増やしていってみてください。

この回答への補足

回答ありがとうございます。

＞１を３個足したら３になるし、３６５個足したら３６５になるんですから、１をｎ個足したらｎになるという意味です。これが成り立たないようだと、そもそも数が数えられないと思いますが。

↑Σ３という記号で、「３」という定数にはｋ（＝１）やｎが含まれないので違和感ので質問しました。こういうものだとおもっておきます。

３乗和を規則的に分解し、その要素が正方形の要素を構成することで２乗の形に変形することができることがわかりました。

補足日時：2007/12/12 23:23

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

＞左上から、○が１個、●が８（＝３＋５）個、○が２７（＝７＋９＋１１）個、●が６４（＝１３＋１５＋１７＋１９）個　とn^3個の　』状のものを並べることができます。
このとき、横の個数は、１＋２＋３＋．．．＋ｎ＝ｎ（ｎ＋１）／２
縦の個数も、１＋２＋３＋．．．＋ｎ＝ｎ（ｎ＋１）／２

よって、全部で｛ｎ（ｎ＋１）／２｝^2

↑やっとなんとなくわかりました。すごいです！

ありがとうございました。

お礼日時：2007/12/12 23:33

No.3 回答者： noname#47894 回答日時： 2007/12/12 09:31

No.1で誤記があったので、訂正します。

> n^3＝｛（ｎ－１）ｎ＋１｝＋.....＋｛（ｎ（ｎ+１）－１｝
> が成り立ちます。
> （初項ｎ（ｎ+１）＋１、公差２、項数ｎの等差数列の和を求めてみてください）

のところは、初項（ｎ－１）ｎ＋１、公差２、項数ｎの等差数列の和　ですね。

ついでに、Σk^2　についてですが、

1^2＝１
2^2＝１＋３
3^2＝１＋３＋５
4^2＝１＋３＋５＋７
...
n^2＝１＋３＋....＋(2n-3)＋(2n-1)

で、似たようなものをあと２つ作ります。

逆向き
1^2＝１
2^2＝３＋１
3^2＝５＋３＋１
4^2＝７＋５＋３＋１
...
n^2＝(2n-1)＋(2n-3)＋....＋３＋１

縦横入れ替え
n^2
＝
(2n-1)
＋
(2n-3)
＋
．．．．．4^2
＋ ．．．＝
７　．．．７　3^2
＋ ．．．＋ ＝
５　．．．５　５　2^2　
＋ ．．．＋ ＋ ＝
３　．．．３　３　３　１^2
＋ ．．．＋ ＋ ＋ ＝
１　．．．１　１　１　１

で、同じ位置のものを重ねて足していくと

(2n+1)
．．．
(2n+1)＋(2n+1)
(2n+1)＋(2n+1)＋(2n+1)
(2n+1)＋(2n+1)＋(2n+1)＋(2n+1)
(2n+1)＋(2n+1)＋(2n+1)＋(2n+1)＋(2n+1)

となり、(2n+1)が三角状に並びます。(2n+1)が、三角数ｎ（ｎ＋１）／２個分あるので、全部でｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）／２
しかし、これは同じものを３つ重ねたのだから、一つはｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）／６＝Σk^2　

この回答への補足

回答ありがとうございます。

回答を読ませていただきましたが、ギブアップです。

もう少し詳しい解説をお願いいたします。

（質問ばかりですいません。）

補足日時：2007/12/12 21:13

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

ついでなので、２乗和についても、もう少し説明していただけるとありがたいです。よろしくお願いします。

お礼日時：2007/12/12 23:35

No.2 回答者： zk43 回答日時： 2007/12/12 00:16

(2)

１＾３＋２＾３
＝１＋２・２＾２
＝１＋２＾２＋２＾２
＝１＋２・１・２＋２＾２
＝（１＋２）＾２＝３＾２

１＾３＋２＾３＋３＾３
＝３＾２＋３・３＾２
＝３＾２＋２・３＾２＋３＾２
＝３＾２＋２・３・３＋３＾２
＝（３＋３）＾２
＝（１＋２＋３）＾２＝６＾２

１＾３＋２＾３＋３＾３＋４＾３
＝６＾２＋４・４＾２
＝６＾２＋３・４＾２＋４＾２
＝６＾２＋２・６・４＋４＾２
＝（６＋４）＾２
＝（１＋２＋３＋４）＾２＝１０＾２
・・・
というように、３乗和は常に、（ｘ＋ｙ）＾２の形になるようです。
ここに、ｘは前の段階の数で、ｙが新たに加わる数です。
一般の証明もできると思います。
新たに加わるｎ＾３で、ｎが偶数か奇数で場合分けして考えれば良いと
思います。
新たに加わるｎ＾３を、（ｎ－１）ｎ＾２とｎ＾２に分けると、うまく
（ｘ＋ｙ）＾２の形になる。

最初半角で書いたらものすごく見にくくなってしまったので、全角で
書きました。
実際に自分で手を動かして計算して行ってみると、メカニズムが見えて
くると思います。

(1)は単に３がｎ個だから３のｎ倍かと・・・Σを使う必要もない。

この回答への補足

回答ありがとうございます。

＞＝１＋２・１・２＋２＾２
＝（１＋２）＾２

↑この式変形がわかりません。
もう少し解説をお願いします。

補足日時：2007/12/12 21:11

No.1 回答者： noname#47894 回答日時： 2007/12/12 00:08

> (1)３＋３＋３＋・・・＋３＝Σ３＝３ｎ

３＋３＋３＋・・・＋３＝３（１＋１＋・・・＋１）＝３ｎ　ではだめですか？
１＋１＋・・・＋１＝ｎ　も証明しないといけないとすると、難しくなりますが．．．

>　(2)　(Σk)の２乗と,Σk^3の結果は同じですが、これは説明できますか？

(Σk)は、三角数とよく呼ばれるもので
○
○○
○○○
○○○○
．．．
の○の個数です。
○●●●●
○○●●●
○○○●●
○○○○●
こんな感じに並べると、縦がｎ個、横が（ｎ＋１）個　○の総数はその半分で、ｎ（ｎ＋１）／２個

Σk^3ですが、
1^3＝１
2^3＝３＋５
3^3＝７＋９＋１１
4^3＝１３＋１５＋１７＋１９
．．．
n^3＝｛（ｎ－１）ｎ＋１｝＋.....＋｛（ｎ（ｎ+１）－１｝
が成り立ちます。
（初項ｎ（ｎ+１）＋１、公差２、項数ｎの等差数列の和を求めてみてください）

そこで、奇数を並べていけば、３乗和が求められるので、
○●●○○○●●●●
●●●○○○●●●●
●●●○○○●●●●
○○○○○○●●●●
○○○○○○●●●●
○○○○○○●●●●
●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●

左上から、○が１個、●が８（＝３＋５）個、○が２７（＝７＋９＋１１）個、●が６４（＝１３＋１５＋１７＋１９）個　とn^3個の　』状のものを並べることができます。
このとき、横の個数は、１＋２＋３＋．．．＋ｎ＝ｎ（ｎ＋１）／２
縦の個数も、１＋２＋３＋．．．＋ｎ＝ｎ（ｎ＋１）／２

よって、全部で｛ｎ（ｎ＋１）／２｝^2

この回答への補足

回答ありがとうございます。
再度質問させていただきます。

＞（初項ｎ（ｎ+１）＋１、公差２、項数ｎの等差数列の和を求めてみてださい）

↑　S＝ｎ/2[｛ｎ（ｎ－１）+１｝+（ｎ－１）×２]
＝ｎ/２｛ｎ^2－ｎ＋１＋2ｎ－2｝
　　 ＝ｎ/2｛ｎ^2＋ｎ－１｝
　　 ＝（n^3＋ｎ^2－ｎ）/2　　ですよね？


＞そこで、奇数を並べていけば、３乗和が求められるので、
○●●○○○●●●●
●●●○○○●●●●
●●●○○○●●●●
○○○○○○●●●●
○○○○○○●●●●
○○○○○○●●●●
●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●

＞このとき、横の個数は、１＋２＋３＋．．．＋ｎ＝ｎ（ｎ＋１）／２
縦の個数も、１＋２＋３＋．．．＋ｎ＝ｎ（ｎ＋１）／２

↑どうもいまひとつピンときません…
もう少し解説していただけるとありがたいです。

補足日時：2007/12/12 20:50

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

> (1)３＋３＋３＋・・・＋３＝Σ３＝３ｎ

＞３＋３＋３＋・・・＋３＝３（１＋１＋・・・＋１）＝３ｎ　ではだめですか？

↑　ｎ＝Σ１ということがいまひとつピンときません・・・

お礼日時：2007/12/12 21:05