数学の諸質問

些細なことかもしれませんがお願いします。


1
c∈Ａかつd∈Ａならば、c＋d∈Ａ
c∈Ａかつd∈Ａならば、c－d∈Ａ

どうしてこうなのかわかりません。1,2,3,4,5⊂Aの場合、c=1,ｄ=5とすると成り立たない気がします。




2
(→a*→b)^2=｜a｜^2*｜b｜^2としてはいけないのでしょう。左辺は内積です。



3
2^23*2^23=2^46=7.0*10^13を暗算で出す方法を手計算で出す方法を教えてください。1000≒2^10とかを使ってもだめでした。

No.1 ベストアンサー 回答者： BookerL 回答日時： 2008/03/09 11:49

１

＞c∈Ａかつd∈Ａならば、c＋d∈Ａ

　これは、集合 Ａ が 加算に対して閉じている、ということを示しています。例えば、Ａが「整数全体の集合」であれば、これは成立しています。
　しかし、どんな集合に対しても成立している、といっているわけではありません。

＞1,2,3,4,5⊂Aの場合、c=1,ｄ=5とすると成り立たない

　これは、｛1,2,3,4,5｝という集合は、加算に対して閉じていない、ということに過ぎません。


２
　( a + b )^2 = a^2 + b^2 は成り立ちませんね。


３
　2^46 ＝ (2^10)^4 * 2^6
　　　 ≒ (10^3)^4 * 2^6
　　　 ＝10^12 * 64
　　　 ＝6.4 * 10^13
まではできますが、最後のところで 6.4 が 7.0 になるのは、1000≒2^10 のところからくるのだろうけれど、手計算だけでできるのかな？
　わたしにはわかりませんm(_ _)m

No.2 回答者： kumipapa 回答日時： 2008/03/09 12:42

1.

c∈Ａかつd∈Ａならば、c＋d∈Ａ は任意の集合で成立するわけではなく、集合Ａが加算に対して閉じている場合の話。集合Ａが加算に対して閉じているという定義が「c∈Ａかつd∈Ａならば、c＋d∈Ａ」が成立することなので。
減法もしかり、です。

２．
ベクトル →a と →b のなす角度をθとすると、
(→a * →b)^2 = |→a|^2 |→b|^2 (cosθ)^2
これが |→a|^2 |→b|^2 と等しくなるのは、→a, →b の少なくとも一方がゼロベクトルか、または、→a と →b が平行のとき（cosθ = 1 のとき）ですね。

３．
#1さんがおっしゃるとおり、6.3×10^13 とするのがいいところではないでしょうか。
仮に log[10]2 ≒ 0.3 を記憶または手計算できるとして、
y = 2^46 → log[10]y = 46 log[10]2 ≒ 13.8
∴ 2^46 ≒ 10^13.8
ところが、10^0.8 = 6.309... なので、10^0.8を記憶または計算できたとしても駄目。
仮に log[10]2 ≒0.301 まで計算できて（記憶できて）、かつ、10^0.846 ≒ 7.0 まで求める術を持っていてやっと 2^46 ≒ 7.0 × 10^13 に辿り着く。
無理っていうか、手計算する意味なし。いまどきこんなアホなことに労力を使う人はいないだろう。もし、これを手計算しろと要求する人がいたとしても、そんな人は相手にしない。

No.3 回答者： kabaokaba 回答日時： 2008/03/09 12:47

>2^23*2^23=2^46=7.0*10^13

暗算は厳しいかも．

2^46 = (2^10)^4 * 64
まではNo.1さんと同じ
で，ここで近似の精度を考える．
2^10 = 1024 だけども，24 をばっさり切ってしまうと
4*24*(10^3)^3 * 64 = 6144 * 10^9 = 0.6 * 10^13
以上の誤差がでます
＃(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6 a^2b^2 + 4ab^3 + b^4で
＃a=10^3 b=24 とすると分かる
今考えている計算は10^13のオーダーになることが
わかってるので，これはちょっと誤差としては大きすぎでしょう

ということで，一次近似をします．

2^46 = (2^10)^4 * 64
= (1000+24)^4 * 64
= (10^3 + 24)^4 * 64
≒ (10^12 + 4 * 10^9 * 24)*64
= 6.4 * 10^13 + 0.6 * 10^13
= 7.0 * 10^13

実際は2^46=70368744177664ですな．

もっと細かく手計算するなら，二次まで考えて
6*10^6*24^2*64 = 221184000000 = 0.02 * 10^13
を加えて
7.02 * 10^13
くらいかな．

この回答へのお礼

みなさん、ありがとうございました。

お礼日時：2008/03/12 11:47