斜めにたてかけた棒の端末条件

Question

お世話になっております。
タイトルの通り端末条件がよくわからないので質問させていただきました。

問題
丸棒ＡＢ（長さl,直径d）のBが地面にピン止めされて、Ａは滑らかな鉛直壁（摩擦なし）に支えられて(立て掛けられて)自重による作用のみを受けているとき、この棒に生じる圧縮応力が最大となる断面はＡから距離いくつのところか？なお、地面と棒の間の角度はθである。

図
Ａ
｜＼
｜　＼
｜　　＼
｜　　θ＼
----------○Ｂ
という状態です。

力の図示は問題なくできたのですが、ＡあるいはＢに反モーメントが存在しているかどうかがよくわかりません。
また、たわみとかたわみ角はどうなのでしょうか(0なのかそうじゃないのか)。

よろしくお願いいたします。

ちなみに解答は
l/2 + (d/8)tanθ
となっているのですが、どうしてdがでてくるのかまったく見当がついてません。
こちらの方もよろしくお願いいたします。

fuuraibou0 · Accepted Answer

縦弾性係数 Ｅ、断面二次モーメント Ｉ　とすると、ＡＢ間の Ｘ 方向のたわみ　Ｗx　は、d^2wx/dy^2＝Ｍ/ＥＩ　で、モーメントが　Ｍ＝－Ｐ・Ｌ　だから、

d^2Ｗx/dｙ^2＝－Ｐ・Ｌ/ＥＩ、　dＷx/dy＝－(Ｐ・Ｌ/ＥＩ)(ｙ＋Ｃ1)、　
Ｗx＝－(Ｐ・Ｌ/ＥＩ)(ｙ^2/２＋Ｃ1・ｙ＋Ｃ2)、

なお、点Ａ（ｙ＝０）で、dＷx/dy＝０、Ｗx＝０　だから、Ｃ1＝Ｃ2＝０、よって、点Ａから、高さ　ｙ　のたわみ角　θx　と、ＡＢのたわみ　ＷＸ　は、

θx＝dwx/dy＝－(Ｐ・Ｌ/ＥＩ）ｙ、Ｗx＝－(Ｐ・Ｌ/２ＥＩ）ｙ^2　で、点Ｂ（ｙ＝ｈ）の
たわみは、ＷxB＝－Ｐ・Ｌ・ｈ^2/２ＥＩ、

ＢＣ間のたわみ　Ｗy　は、d^2Ｗy/dx^2＝Ｍx/ＥＩ＝－Ｐ(Ｌ－Ｘ)/ＥＩ、
dＷy/dx＝－(Ｐ/ＥＩ)(ＬＸ－Ｘ^2/２＋Ｃ3)、
Ｗy＝－(Ｐ/ＥＩ)(ＬＸ^2/２－Ｘ^3/６＋Ｃ3・Ｘ＋Ｃ4)

また、点Ｂ（ｘ＝０）で、dＷy/dx＝０、Ｗy＝０　だから、Ｃ3＝Ｃ4＝０　になり、
ＢＣ間のたわみ角　θy　と、たわみ　Ｗy　は、

θy＝dＷy/dx＝－(Ｐ/２ＥＩ)(２ＬＸ－Ｘ^2)、　Ｗy＝－(Ｐ/６ＥＩ)(３ＬＸ^2－Ｘ^3)

教科書では、以上のようになっていますが、点Ｂ　および　ＢＣ間のたわみ　Ｗ　は、点Ｂが　Ｘ　方向に　ＷxB　移動して、ｙ　方向にたわむ値を加え、

Ｗ＝Ｗy＋ＷxB・sin{sin^-1(ＷxB/ｈ)} 
＝－(Ｐ/６ＥＩ){(３ＬＸ^2－Ｘ^3)－３Ｌ・ｈ^2・sin{sin^-1(ＷxB/ｈ)}]　になると
思います。ただし、ＡＢ間は右方向が（－）、ＢＣ間は下向きが（－）です。

fuuraibou0 · Answer

> 【疑問1】剛節の場合はいつもこの> ようにやればよいということでよろ> しいのでしょうか？

はいそうですよ。

> 【疑問2】
> θ=arctan(δx/h)=arctan(WxB/h)として
> WyB=WxB*tanθとすべきなのではと思いました。
> （つまりWyC=WyB+Wy(L)）

点Ｂは、Ｐ　による　ｙ方向の縮みも少しありますが、モーメントによる　ｘ方向のたわみ、と云うよりも　点Ａを中心とする回転による　点Ｂのｙ方向の移動　ＷxB・sinθ　が、ＢＣ間のたわみに加算されます。

Ｂ
－－－－－｜
｜＼θ 　　　｜ＷxB・sinθ
｜　　＼　　｜
｜ＷxB　＼｜
｜　　　　／Ｂ’
｜θ 　／
｜／　θ＝sin^-1(ＷxB/ｈ)
Ａ

fuuraibou0 · Answer

> 【疑問1】剛節の場合はいつもこの> ようにやればよいということでよろ> しいのでしょうか？

はいそうですよ。

> 【疑問2】
> θ=arctan(δx/h)=arctan(WxB/h)として
> WyB=WxB*tanθとすべきなのではと思いました。
> （つまりWyC=WyB+Wy(L)）

点Ｂは、Ｐ　による　ｙ方向の縮みも少しありますが、モーメントによる　ｘ方向のたわみ、と云うよりも　点Ａを中心とする回転による　点Ｂのｙ方向の移動　ＷxB・sinθ　が、ＢＣ間のたわみに加算されます。

Ｂ
－－－－－｜
｜＼θ 　　　｜ＷxB・sinθ
｜　　＼　　｜
｜ＷxB　＼｜
｜　　　　／Ｂ’
｜θ 　／
｜／
Ａ

fuuraibou0 · Answer

｜←－Ｌ－→↓Ｐ
｜ー－－－－Ｃ
｜Ｂ→ｘ
｜　　ＢＣ間のモーメント　Ｍx＝－Ｐ（Ｌ－ｘ）＜０、　　（０≦ｘ≦Ｌ）
｜
｜　　ＡＢ間のモーメント　ＭAB＝－Ｐ・Ｌ＝一定、　　（高さに関係せず）
｜
｜Ａ　点Ａのモーメント　ＭA＝－Ｐ・Ｌ　です。
－－
よって、点Ｂ　は、ＭB≠０　より、固定端と同じで、点Ａ　はもちろん固定端。

fuuraibou0 · Answer

ちょっと僕も説明不足でした。御免なさい。

点Ａ　や　Ｂ　のように壁やピンで支えられている場合は、単純支持で、今回の場合は、かつ両端支持と同じです。よって、点Ａ　および　Ｂ　のモーメントは　０　になります。

固定端とは、丸棒が壁に食い込んでいるような場合で、このときは、点Ａ　のモーメントが　０　にならず、点Ｂがピンなら　点Ｂのモーメントは　０　です。

なお、四辺形ＡＢＣＤ　で、ＡＢ　を上面、ＣＤ　を底面とするとき、点Ａ、Ｂ　がピンなら、点Ａ、Ｂ　のモーメントは　０　で、ＡＢ　は単純な両端支持、

点Ａ、Ｂ　がピンでない場合、点Ａ、Ｂ　のモーメントは　０　になりません。

また、この場合、点Ｃ、Ｄ　が固定端なら、点Ｃ、Ｄ　のモーメートもやはり
０　ではありません。

もし、点Ｃ、Ｄ　もピンなら、点Ｃ、Ｄ　のモーメントも　０　で、四辺形ＡＢＣＤ　は直ぐ倒れてしまいますから、少なくとも点Ｃ、Ｄ　のどちらかは固定点で、
固定された点にモーメントが生じます。

fuuraibou0 · Answer

> 端末条件は単純支持の場合と変わらず、また解答は間違っているという
> 解釈でよろしいのでしょうか？

端末条件は、単純支持はりでなく、点Ａが単純支持で、点Ｂがピンなら両端支持はりと同じです。また、解答の　Ｌ/２＋（ｄ/８）tanθ　は間違いです。

fuuraibou0 · Answer

長さ　Ｌ（ｍ）　、直径　ｄ（ｍ）　の丸棒の比重を　ρ（ｋｇ/ｍ^3）、重力の加速度を　ｇ＝９.８（ｍ/ｓ^2）　とすると、自重　Ｗ（Ｎ）　は、

Ｗ＝９.８・ρ・π・Ｌ・ｄ^2/４

よって、傾斜角　θ　で丸棒を立て懸けたときの等分布荷重　ｐ（Ｎ/ｍ）　は、

ｐ＝Ｗ/Ｌ・cosθ

また、点Ａ、Ｂ　の反力　Ｒ　は、Ｒ＝Ｗ/２＝ｐ・Ｌ・cosθ/２　で、点Ａから点Ｂ方向にとった長さを　ｘ　とする任意点のモーメント　Ｍ　は、

Ｍ＝Ｒ・ｘ・cosθ－ｐ・(ｘ・cosθ)^2/２＝(ｐ・cos^2θ/２)(Ｌ・ｘ－ｘ^2)

ゆえに、丸棒の上下面に生じる圧縮、引張り応力　σ　は、丸棒の断面一次モーメントが　Ｚ＝πｄ^3/３２　だから、

σ＝±Ｍ/Ｚ＝±(１６・cos^2θ/π・ｄ^3)(Ｌ・ｘ－ｘ^2)

なお、σ　が最大になるのは、σ　を　ｘ　で微分して、０　になる所で、

dσ/dx＝Ｌ－２ｘ＝０、　∴　ｘ＝Ｌ/２　です。

また、たわみも　ｘ＝Ｌ/２　で最大になり、点Ａ、Ｂ　のモーメントは、０　です。

斜めにたてかけた棒の端末条件

縦弾性係数 Ｅ、断面二次モーメント Ｉ とすると、ＡＢ間の Ｘ 方向のたわみ Ｗx は、d^2wx/dy^2＝Ｍ/ＥＩ で、モーメントが Ｍ＝－Ｐ・Ｌ だから、

> 【疑問1】剛節の場合はいつもこの> ようにやればよいということでよろ> しいのでしょうか？

> 【疑問1】剛節の場合はいつもこの> ようにやればよいということでよろ> しいのでしょうか？

｜←－Ｌ－→↓Ｐ

ちょっと僕も説明不足でした。

> 端末条件は単純支持の場合と変わらず、また解答は間違っているという

この回答への補足

長さ Ｌ（ｍ） 、直径 ｄ（ｍ） の丸棒の比重を ρ（ｋｇ/ｍ^3）、重力の加速度を ｇ＝９.８（ｍ/ｓ^2） とすると、自重 Ｗ（Ｎ） は、

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長さ　Ｌ（ｍ）　、直径　ｄ（ｍ）　の丸棒の比重を　ρ（ｋｇ/ｍ^3）、重力の加速度を　ｇ＝９.８（ｍ/ｓ^2）　とすると、自重　Ｗ（Ｎ）　は、