ln(-1) オイラー方程式

ln(-1)はどうしてπになるんですか？これがlog(e)-1になってe^x=-1になるってとこまでと、オイラー方程式が関係してるってことは解ったんですが、そのオイラー方程式がe^x=-1にどのようにはたらくかってのが良くわかりません、どなたか教えていただけると助かります。

No.2 ベストアンサー 回答者： Segenswind 回答日時： 2008/04/01 18:46

ln(-1)はπではないと思いますが……。

お書きの通り、
lin(-1) = x　は　e^x = -1　と同値ですが、
　　e^π ≒ 2.72^3.14 = 23.1...
なので、明らかに x ≠ π です。

オイラーの公式とは、
　　e^(i*θ) = cosθ + i*sinθ　　（ i は虚数単位）
というもので、対数関数と三角関数を結びつける重要な式です。

これを用いれば、e^x = -1 の解を求めるということは、
x = i*θ とおくことにより、
　　e^(i*θ) = -1
すなわち、
　　cosθ + i*sinθ = -1
を解くことに等しくなります。

後はさほど難しくないのでどうぞ。

この回答へのお礼

ありがとうございます、でも、どうしてe^(i*θ)=cosθ+isinθになるのでか？公式だからですか？

お礼日時：2008/04/03 00:43

No.4 回答者： Segenswind 回答日時： 2008/04/11 16:19

No.2です。

今さらではありますが。

>でも、どうしてe^(i*θ)=cosθ+isinθになるのでか？公式だからですか？

確かに公式ではありますが、すべての公式は論理的に導かれたものなわけで、
「公式だから」というのは理由にも何にもなりませんよね。
もちろんこの公式も成立までの筋道があります。
とはいえ、詳細に説明するのは無理なので、簡単に言いますと：

関数を無限数列の和の形に変換する、テイラー展開という操作があります。
これに従うと、e^(i*θ) 、cosθ、i*sinθ はそれぞれ、

　　e^(i*θ) = 1 + i*θ - θ^2/2! - i*θ^3/3! + θ^4/4! + ...+ (i*θ)^n/n! + ...
　　cosθ = 1 - θ^2/2! + θ^4/4! + ... + (-1)^n*θ^(2n)/(2n)! + ...
　　i*sinθ = i*(θ - θ^3/3! + ... + (-1)^n*θ^(2n+1)/(2n+1)! + ...

となり、よく見ると e^(i*θ) は、

　　e^(i*θ) = (1 - θ^2/2 ! + θ^4/4! + ...)+ (i*θ - i*θ^3/3! + ...)
　= (1 - θ^2/2 ! + θ^4/4! + ...)+ i*(θ - θ^3/3! + ...)

とまとめられ、すなわち、

　　e^(i*θ) = cosθ + i*sinθ

が導かれます。
きちんとした証明にはほど遠いのですが、何となくのイメージぐらいはつかんでいただけるでしょうか。

この辺りについて詳しくお知りになりたければ、
その名もズバリ「オイラーの贈物」（吉田武）という良書がありますので、こちらをお薦めします。
残念ながら出版社では絶版・品切れのようですが、図書館などで比較的簡単に見つかると思います。


なおついでですが、Google電卓では、
　　ln(-1) = 3.14159265 i
となり、最後にきちんと i がついてきました。
http://www.google.com/search?q=ln(-1)

この回答へのお礼

詳しいご説明ありがとうございます、どうしてe^(i*θ) = cosθ + i*sinθになるのかがずっと気になっていて、今までの三角関数の知識でどうにか解こうとしていました、「関数を無限数列の和の形に変換する、テイラー展開」という順序があるなんてことは全く思いつきませんでした。書籍のご紹介もありがとうございます、興味があるのでさっそく探してみます、二度にわたるご親切な回答本当にありがとうございました。

お礼日時：2008/04/11 22:29

No.3 回答者： info22 回答日時： 2008/04/01 19:05

ln (-1)=ln {e^(iπ)}=iπ ln e=iπ

でπにはなりません。
「iπ」の間違いではないですか？

絶対値を取れば
| ln(-1) |=π
が成立しますが、如何ですか？

この回答への補足

はい、iπ の間違いだったようです。googleの計算機ではπになったので、勘違いしていました。ご指摘ありがとうございます。

補足日時：2008/04/01 23:34

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2008/04/01 17:28

さてさて, ln(-1) をどのように定義しましょうか?

この回答へのお礼

まず、ln(-1) = log(e)-1　ですよね、それで、log(e)-1= x　とおいて、e^x= -1にします、そのあと、xをθとおいて、e^θになにを代入すれば式が-1になるかを考えるですよね？皆様のご助言の結果、xがiπの時にe^θ= cosθ+isinθ=-1が成立する（e^iπ= cosiπ+isiniπ= -1 + 0 =-1）っていうのは解り、納得したのですが、どうしてe^θ= cosθ+isinθが成り立つのかが、まだよく解りません。ただ単に公式だからですか？この式にたどり着くまでのいきさつをどなたかご説明していただければ幸いです。

お礼日時：2008/04/03 01:08