一様連続の証明について（改）

同じ問題の質問を何度もすみません。
お蔭様でだんだん分かってきましたので、あともう少しだと思うので、
よろしくお願いします。

定理：『閉区間〔a,b〕で定義された連続関数は一様連続である。』
の証明についてです。

一様連続とは
「任意のε>0に対してδ>0が存在して、｜x－y｜<δを満たす区間内の
全てのx、yに対し、｜f(x)ーf(y)｜<εが成り立つ。」
ということですので、

背理法でこの定理を証明する場合は
「あるε>0において、どのようなδ>0に対しても｜x'-y'｜<δ
かつ｜f(x')-f(y')｜≧ε x'、y'∈〔a,b〕となるx'、y'が存在する。」・・・（※）
ことの矛盾を導けばよいのですが、

ここで以下のサイトの命題４、１を見てください。

http://www.google.co.jp/search?hl=ja&safe=off&q= …​

これは私が勉強している参考書「微分積分学 難波誠著」と同じ証明方法です。

ここまでは過去の質問と同じなのですが、
今回の本題はここからです。

さてこの定理は、区間が開区間では成り立たないので、条件として閉区間であることが必要ですが、
証明のどこで閉区間でないと成り立たない部分があるのかが分からないのです。
この証明では閉区間〔a,b〕を開区間(a,b)と置き換えてもそのまま成り立つような気がするのです。

この証明内で使われている「ボルツァーノ・ワイヤストラスの定理」は「有界な数列は収束する部分列を持つ」という定理ですが、
有界列というのはxn∈(a,b)のように開区間の範囲内でもよかったと思うので、これも証明内で閉区間〔a,b〕を開区間（a,b）に置き換えてもそのまま成り立つと思います。

この証明ではいったいどこで開区間では成立しない閉区間限定という条件を使っているのでしょうか？

またどこかで勘違いをしていると思うのですが、
分からずに困っています。
よろしくお願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/05/02 20:09

>この証明ではいったいどこで開区間では成立しない閉区間限定という条件を使っているのでしょうか？

収束する部分列の収束先が、閉区間 [a, b] に含まれているという箇所。

開区間 (a, b) の元で有界な点列を考えたとして、その集積点が開区間に含まれる保証はありません。

この回答へのお礼

koko_u_さん、再度のご回答どうもありがとうございます。

>開区間 (a, b) の元で有界な点列を考えたとして、その集積点が開区間に含まれる保証はありません

なるほど！開区間だと部分列の収束先が端点aやbになってしまうことがあるということですね。

とても良く分かりました。
どうもありがとうございました。大変助かりました。

お礼日時：2008/05/03 09:18