数II整数問題

√３　が無理数であることを用いて次の問に答えよ
という問題なのですが
３時間考えたあげくわからなかったので
ここで質問してみることしました

＜1＞　有理数a,bについて等式a＋b√3＝0が成り立つならば
a＝b＝0であることを示せ

<２> 等式(12-√3)ｌ-(1-２√3)m=ｌm+３n√3を満たす
正の整数の組(l,m,n)をすべて求めよ

１問でも解き方がわかる方教えてください

No.5 回答者： take_5 回答日時： 2008/05/12 21:17

＞とくに(2)の-1の部分が理解できません

ごめん、1とlを見間違ってた。
lをkに直すと、（12k-m-km）＋（2m-3n-k）√3＝0だね。

No.4 回答者： take_5 回答日時： 2008/05/12 20:57

これ↓で、わかると思うけど。

。。。。。。笑

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/sqrt2001. …

No.3 回答者： take_5 回答日時： 2008/05/12 18:42

＞12k-m-km＝0‥‥(1)、2m-3n-1＝0‥‥(2)が成立するのかが

わかりません

＜1＞て゛、　有理数a,bについて等式a＋b√3＝0が成り立つならばa＝b＝0であることを示せ

が証明されているから。a＝12k-m-km＝0、b＝2m-3n-1＝0って事。

＞とくに(2)の-1の部分が理解できません

全て左辺に集めて、そろえただけ。

No.2 回答者： take_5 回答日時： 2008/05/11 10:03

＞<２> 等式(12-√3)ｌ-(1-２√3)m=ｌm+３n√3を満たす正の整数の組(l,m,n)をすべて求めよ

(12l-m-lm)+(2m-3n-l)√3=0。判別しにくいので、lをkに変更します。
12k-m-km＝0‥‥(1)、2m-3n-1＝0‥‥(2)が成立する。
(1)でkとmの整数値がわかれば、(2)のnはすぐわかるから、(1)の整数値を求めると良い。
km＋m-12k＝0より、m（k+1）＝12kと変形するとkは自然数から　m＝（12k）/（k+1）＝12-（12）/（k+1）となる。
mが自然数であるためには、（12）/（k+1）も自然数でなければならない。つまり、k+1が12の約数でなければならない。
k+1≧2、12＝1*2、2*6、3*4、であるから、k+1＝2、3、4、6、12となる。
あとは自動的に、mとnの値が求められる。

この回答へのお礼

細かい説明ありがとうございました
(12l-m-lm)+(2m-3n-l)√3=0を
どうしたら
12k-m-km＝0‥‥(1)、2m-3n-1＝0‥‥(2)が成立するのかが
わかりません
とくに(2)の-1の部分が理解できません
よかったら教えてください
そこがわかったことにしたら
この問題を解けることができました
本当にありがとうございました

お礼日時：2008/05/12 15:51

No.1 回答者： narucross 回答日時： 2008/05/11 03:07

この手の問題は知っているか知らないかで決まってしまうことが多いので、わからなくてもあんまり気にしないでいいかと・・・

無理数って何だろう。逆に有理数って何だろう。と、定義を使います。

1 a+b√3=0
b≠0ならば、√3=-a/b
√3は無理数、すなわち分数の形で書けないはずなので、矛盾が生じます。この矛盾はb≠0という過程から生じたものです。
つまり、b=0 ∴a=0

2 誘導問題です。1を使います。
式変形して、
(12l-m-lm)+(2m-3n-l)√3=0
前問より12l-m-lm=0　かつ　2m-3n-l=0
順に＊　＊＊と呼びます。
やみくもに解いてはいけません。nは＊＊にしかでてきていません。
つまり、＊と＊＊を組み合わせて解くことに意味はないのです。
自然数であることを使って、＊をとき、l,mをもとめ、＊＊でnを求めるのかなと見当をつけます。
＊のような式の処理も知らないとにっちもさっちも・・・3時間考えてもという感じです。（粘り強く考えることは大切なことですよ）
lm+m-12l=0
m(l+1)-12l-12=-12 (この式変形は覚えるところです)
(12-m)(l+1)=12　＊＊＊となります。
あとは、地道に探すだけです。l,mは自然数なので、
(l,m)=(10,11)(3,9)(2,8)(5,10)(1,6)
このうち、＊＊により、ｍが自然数になるものに絞って、
(l,m,n)=(10,11,4)、(5,10,5)となります。
慣れないうちは、この手の整数問題の計算は時間がかかります。
＊＊＊などは表を作って考えるとすっきりしますね。

この回答へのお礼

なるほどですね
わかりやすい説明ありがとうございました
しかし
２>の解答は
(３.９，５)(５,10,15)になるようです

お礼日時：2008/05/12 15:47