No.2
- 回答日時:
ケーリー・ハミルトンの計算違ってるよ。
もう少し、解説を丁寧に写してもらわないと何を言いたいのか、分からない。
この回答への補足
回答ありがとうごさいます。
そのまま写したつもりでしたが、確かに違ってましね^^;2Eですね。スイマセン。
詳しくと言われましても、問題集の回答の3行をそのまま写しただけで…その3行で理解できなかったので質問してます^^;
「何を聞きたいのか」を言い直しておくと「行列を因数分解するさいに『A≠kE』ということを記述する理由」です。
例えば「AがEの実数倍だと因数分解できない」のでしょうか?
No.3
- 回答日時:
や, A=kE かどうかは全く関係なく
A^2 - 3A + 2E = (A-E)(A-2E)
です.
このあとに何か問題があったりしませんか?
この回答への補足
回答ありがとうございます。
(2)(3)が影響してくるかもしれないのですね。
わかりました。では(2)(3)もすべて書きます。
問題
nを自然数とする。正方行列A=(3,-2,1,0)について
(1)
(A-2E)(A-E)=(A-E)(A-2E)=0が成り立つことを示せ。
(2)
A⌒n(A-E)=2⌒n(A-E)が成り立つことを示せ。
(3)
A⌒nを求めよ。
回答
(1)
(証明)
ハミルトン・ケーリーの定理より A⌒2-3A+2E=0
『A≠kE』より
(A-2E)(A-E)=(A-E)(A-2E)=0 (終) (←(A-αE)(A-βE)=Oの形に)
(2)
(証明)
(A-2E)(A-E)=0よりA(A-E)=2(A-E) (←A(A-βE)=α(A-βE)の形に)
ゆえにA⌒n(A-E)=2⌒n(A-E)・・・(a) (終) (←A⌒n(A-βE)=α⌒n(A-βE)を導く)
(3)
(A-E)(A-2E)=0よりA(A-2E)=A-2E
ゆえにA⌒n(A-2E)=A-2E・・・(b)
(a)よりA⌒(n+1)-A⌒n=2⌒nA-2⌒nE・・・(c)
(b)よりA⌒(n+1)-2A⌒n=A-2E・・・(d)
(c)-(d)よりA⌒n=(2⌒n-1)A-(2⌒n-2)E
(あとは行列AとEを入れて計算ですが、書くとグチャグチャになるので最終的な答えだけを・・・)
A⌒n=(2⌒(n+1)-1,-2⌒(n+1)+2,2⌒n-1,-2⌒n+2)
(←○○)は薄地で書かれていた補足説明です。
再びよろしくお願いしますm(_ _)m
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