∫xtan＾-1ｘdxの不定積分

∫xtan＾-1ｘdxの不定積分の問題なんです。
以下のように解いて見たんですが
∫xtan＾-1ｘdxにおいて
x=tan(t)とおく，dx=(1/cos^2t)dtとする時
∫xtan＾-1ｘdx
=∫{tan(t)/cos^2t}dt
=-∫{t(cost)/cos^3t}dt
=t/2cos^2t-1/2∫(1/cos^2t)dt
=t/cos^2t-1/2tan(t)+C
=1/2{(x^2+1)tan^-1x-x}+C

と解いてみたんですが，途中式等あってますかね？
よろしくお願いします。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2008/10/11 23:17

1行目から 2行目が違う気がするし, そこから 3行目もなぜそうなるのかがわからん.

d(tan^-1 x)/dx = 1/(1+x^2) なんだから,
∫xtan＾-1ｘdx = (x^2 tan^-1 x)/2 - ∫x^2/[2(1+x^2)] dx
とした方が簡単かな.

この回答へのお礼

ありがとうございます。
参考にさせて頂き、もう一度問題を解いてみます。

お礼日時：2008/10/16 09:43

No.2 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2008/10/11 23:50

＞∫xtan＾-1ｘdx

＞=∫{tan(t)/cos^2t}dt

　=∫{tan(t)*t/cos^2t}dt　　←ｔが抜けています。

＞=-∫{t(cost)/cos^3t}dt

　=∫{t(sint)/cos^3t}dt　　←符号は－にならないと思います。またtant=sint/costですよね。

この回答へのお礼

解答ありがとうございます。
参考にさせて頂き、もう一度問題を解いてみます。

お礼日時：2008/10/16 09:43

No.3 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2008/10/12 00:15

> ∫xtan＾-1(x)dx

> =∫{tan(t)/cos^2(t)}dt ×
=∫{t*tan(t)/cos^2(t)}dt
> =-∫{t*cos(t)/cos^3(t)}dt　×
=∫{t*sin(t)/cos^3(t)}dt
=-∫{t(cos(t))'/cos^3(t)}dt
> =t/(2cos^2(t))-(1/2)∫(1/cos^2(t))dt
> =t/cos^2(t)-(1/2)tan(t)+C ×
=t/(2cos^2(t))-(1/2)tan(t)+C
=(t/2){1+tan^2(t)}-(1/2)tan(t)+C
> =(1/2){(x^2+1)tan^-1(x)-x}+C
途中計算が間違っていますが、最終結果は合っています。
不思議ですね？

なお、多重括弧をつけないと分子・分母の境が判読不能になりますのでこういった所で式を書くときは上記のような多重括弧を使う書き方をして下さい。

この回答へのお礼

丁寧な解答ありがとうございます。
参考にさせて頂き、もう一度問題を解いてみます。

お礼日時：2008/10/16 09:41