A 回答 (16件中1~10件)
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No.16
- 回答日時:
お気持ちは大変よく分かります(笑)。
無限って難しいですよね。想像の世界ですから。ある意味で哲学の領域だと思います。0.9と1との間には差がありますよね。0.99と1との間にも差はありますし、0.999と1との間にも差はあります。0.9999だって、0.99999だって、1よりもほんの少しだけ小さいわけです。
同じように、0.999…と1との間にも、ほぉ~~~んの少しだけですが、隙間があります。ええ、あるんですよ、間違いなく。1と一緒なら、最初から1と書けばいいんですから。
ところがですねぇ、0.999…の場合、悲しいことに、その差を指摘しようと思っても、直ちにもう一桁「9」が出現するんですよね。で、更にわずかになった差を指摘したとたんに、また「9」が出てくる…。そしてまた小さくなった隙間を指摘したとたんに、またもや「9」が…、の繰り返しです。
結局のところ、差を指摘しようと思ってもできないんですよね。
理由は簡単。「9」より大きな一桁の数字はないからです。
言い方を変えれば、「差がある」ということは、「(0.999…)< A < 1 」の「A」がどんな数値かを言えるということです。でも「9」より大きな一桁の数字はないので、表現のしようがないですよね。
ですので、0.999…と1との間には「差がない」というよりも、正確には「差を指摘できない」というべきです。文学的な表現を用いるならば、「0.999…とは、1より小さいどんな数よりも1に近い数」とでも言いましょうか。
いずれにせよ、差を指摘できない以上、「もはや同一の数値として扱うしかありませんなぁ」というわけです。数字じゃないですよ。「数値」としてです。
ですので、0.999…と1は、数値としては、100%、完全に、完璧に一緒なのです。「≒」じゃありません。「=」です。
ちなみに、私が感心した説明(証明というほどではありませんが)は、
0.1111… =1/9
0.2222… =2/9
0.3333… =3/9=1/3
0.4444… =4/9
ですよね。同じように続けて、
0.5555… =5/9
0.6666… =6/9=2/3
0.7777… =7/9
0.8888… =8/9
となります。もう一つ続けると…
0.9999… =9/9=1
というものです。「う~ん、9って不思議な数だなぁ」と妙に納得してしまったものです(笑)。
No.15
- 回答日時:
>0.99999999…-1=-0.00…001<0
>じゃないですか?
誤りです。
なぜなら
0.999…999999…
+0.000…001
1.000…000999…
筆算にて1-0.999…をやってください。永遠に0が続きます。
すでに出ているとおり、9は永遠に続くのにも関わらず、勝手にどこかの有限個で打ち切ってしまっているだけです。
また#12さんの回答とほぼ重複しますが、「中間値の定理」というものがあります。
異なる二つの実数a,bには、a<c<bとなるような数cが存在するというものです。
もし仮に1と0.999…が異なる実数だとすると0.999…<c<1となるようなcが存在するはずです。しかしどうにもこうにもこのcを持ってくることができません。何か一つ例を挙げてみてください。(その例を挙げたらあっという間に論破されますが)
No.14
- 回答日時:
高2で、青二才ですがこれではだめですか?
連立方程式の発想です
a=0.9999…←(1)とおくと
10a=9.999…←(2)
(2)-(1)をすると
9a=9
よってa=1
となるから
0.9999…=1 は証明された<終>
どうでしょう?
No.12
- 回答日時:
0.999‥(無限に続く)=1は正しいです。
0.999‥という具体的な数が定義されているのではなく「極限値」というものが定義されているからです。
e>0として、どんなに小さいeを仮定しても、
0.999‥(9がn個)>1-e
を満たす有限の数nが存在するときに、0.999‥(n=∞すなわち極限値)が1であると定義されています。(←この表現自体は具体的な数で説明していますが、正式にはもっと一般的な形で説明します)。
No.11
- 回答日時:
この質問に答えるのは困難です。
おかしくありませんと一言で答えたのでは、ご満足は得られません。しかし詳しく説明するには「道具=言葉」が不足しております。1.数学というのは論理の組み立てで成り立っています。従って、基礎数学から始めて公理、定理のつながりで説明して行かなくては正確な議論は出来ません。
2.一方に於いて、私たちの生活から見れば、買い物に必要な足し算、引き算を小学生から手っ取り早く教えて行かなければなりません。色々な面で、暗黙の了解が用いられて行きます。
この二つの立場はお互いに矛盾している点が含まれます。今回のご質問はこの二つの立場の中間(接点と言うべきかも知れません)に置かれているから、明確な答えが出ないのであると思います。
数とは何ですか。実数とは何ですか。等しいとは何ですか。このような定義を踏まえた上でなければ、正しい答えは出ないでしょう。
私が学校を出てから時間が経ちました。最近の学生さんがどのような本で学んでおられるか知りません。私の時代なら、解析概論/岩波書店で実数の定義は知りました。今も販売されていますし、内容は間違っておりません。時代を形作る名著です。(英語で言えばエポックメイキング!)質問者の方がご興味をお持ちなら先ず図書館で見てご覧なさい。
No.10
- 回答日時:
おかしくありません。
0.999999・・・・・・・
の、・・が無限に続くという前提で、ならば、全くおかしくありません。あなたが「明らかに」というのは、単にあなたの脳内に有限個の数字しかイメージできていない状態であるということの反映でしかありません。
極限の概念がしっかりと把握できていれば、納得することができるはずです。
No.9
- 回答日時:
今、Qno.4427982の{確率の問題}に書き終えて、この問題に気づいたのですが、全く同じ説明があてはまるようです。
よかったら、その私の説明を見ていただけるでしょうか?
No.8
- 回答日時:
なにをそんなみみっちいことを考えているんですか?
0.999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999=1でいいじゃないですか。
これじゃ、まだ飽き足りませんか?
いい加減にしないと頭禿げますよ
No.7
- 回答日時:
> 0.9999999・・・は明らかに1より小さいと思います。
極限の計算に慣れていないんだね。
収束する数列 a_n の各項が a_n < α を満たすとき、
lim[n→∞] a_n ≦ α は証明できるが、
lim[n→∞] a_n < α が成立するとは限らない。
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